Question

Solução para a segunda derivada  Y = 2x . ( x - 1)^3

Qual a derivada de primeira ordem da função:  Y =  e ^2x
                                                                           x + 1             

Answer 1

Aqui é preciso saber duas coisas:
I) (f(g(x)))' = f'(g(x)).g'(x)
II) (f(x).g(x))' = f'(x).g(x) + f(x).g'(x)
Onde aquela linha ali indica a derivada da função em relação a x.

a) Por II:
f(x) = 2x; g(x) = (x-1)³ => f'(x) = 2; g'(x) = 3(x-1)²
y' = 2(x-1)³ + 2x.3(x-1)²
y'' = 2.3(x-1)² + 6(x-1)² + 6x.2(x-1) => y'' = 12(x-1)² + 12x(x-1)

b) A função do denominador pode ser reescrita como $(x+1)^{-1}$.
$f(x) = e^{x}$, g(x) = 2x, (fiz isso porque f(g(x)) = $e^{2x}$) $h(x)=(x+1)^{-1}$ =>
=> (f(g(x)))' = $2.e^{2x}$ (por I); h'(x) = $-(x+1)^{-2}$.

$y' = 2.e^{2x}.(x+1)^{-1}-(x+1)^{-2}.e^{2x} = \frac{2e^{2x}}{x+1}-\frac{e^{2x}}{(x+1)^{2}}=> y' = \frac{e^{x}.(2x-1)}{(x+1)^{2}}$