Question

Se em todos os 100 números de um conjunto, cuja média é igual a 20 e o desvio padrão é igual a 10, somarmos uma mesma constante igual a 25, a nova média e o novo desvio padrão serão, respectivamente, iguais a:
a)45 e 10
b)45 e 35
c)45 e 110
d)250 e 10
e)não tem como calcular os valores

Answer 1

Para calcular a média fazemos:

$m= \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$

Foi dado que $m=20$. Então:

$m= \frac{a_1+a_2+...+a_{100}}{100}=20$

Assim, se se somarmos uma constante $c=25$ a todo elemento teremos:

$m_1= \frac{(a_1+25)+(a_2+25)+...+(a_{100}+25)}{100}$

$m_1= \frac{a_1+25+a_2+25+...+a_{100}+25}{100}$

$m_1= \frac{25.100+a_1+a_2+...+a_{100}}{100}$

$m_1= \frac{25.100}{100}+\frac{a_1+a_2+...+a_{100}}{100}$

$m_1= 25+m$

Logo a nova média será a média anterior mais 25. Como $m=20$, teremos:

$m_1= 25+m$

$m_1= 25+20$

$m_1= 45$

A nova média é 45.

Como o desvio padrão $d$ é soma das diferenças de todos os números pela média temos:

$d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-m)^2 }$

Onde $x_i$ é cada item dos 100 números e $m$ a média dos 100 números. Sabemos que a nova média é $m_1= 25+m$ e os números somados com 25 ficam assim $x_i+25$. Substituindo na fórmula do desvio padrão, teremos:

$d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-m)^2 }$

$d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}((x_i+25)-m_1)^2 }$

$d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}((x_i+25)-(m+25))^2 }$

$d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i+25-m-25)^2 }$

$d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i+25-25-m)^2 }$

$d= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-m)^2 }$

Podemos perceber que após as substituições a fórmula permaneceu a mesma. Logo, o desvio padrão permanece o mesmo, igual a $10$.

Portanto, a resposta é a letra $a)$.