Question

[Geometria Analítica e Álgebra Vetorial]

Considere u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) vetores não nulos e ortogonais entre si. Encontre as coordenadas dos vetores w, de modo que u × w = v.

(o símbolo × denota produto vetorial)

Answer 1

$u\ x\ w\ =\ v\\\\(u_1,u_2,u_3)\ x\ (w_1,w_2,w_3)\ =\ (v_1,v_2,v_3)\\\\(u_2*w_3-u_3*w_2,u_3*w_1-u_1*w_3,u_1*w_2-u_2*w_1)\ =\ (v_1,v_2,v_3)$

Temos uma outra informação no enunciado (Que já está implícita no próprio produto vetorial), que u e v são ortogonais. Vamos verificar se, usando isso, podemos simplificar a expressão acima.

$(u_1,u_2,u_3)\ *\ (v_1,v_2,v_3)\ =\ u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\ =\ 0$

As coordenadas de v encontradas na primeira conta são:

$v_1=u_2*w_3-u_3*w_2\\v_2=u_3*w_1-u_1*w_3\\v_3=u_1*w_2-u_2*w_1\\\\w_3=\frac{v_1+u_3*w_2}{u_2}\\\\v_2=u_3*w_1-\frac{u_1}{u_2}(v_1+u_3*w_2)\\v_3=u_1*w_2-u_2*w_1\\\\w_2=\frac{v_3+u_2*w_1}{u_1}\\\\v_2=u_3*w_1-\frac{u_1}{u_2}(v_1+\frac{u_3}{u_1}(v_3+u_2*w_1))\\v_2=u_3*w_1-\frac{u_1}{u_2}(v_1+\frac{u_3v_3}{u_1}+\frac{u_2*u_3*w_1}{u_1})\\v_2=u_3*w_1-\frac{u_1v_1}{u_2}-\frac{u_3v_3}{u_2}-u_3*w_1\\0w_1=v_1u_1+v_2u_2+v_3u_3\\0w_1=0$

$\\\\w_1=x\ \ \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}\ \cap \ u_1\neq 0\ \cap \ u_2\neq 0\\\\w_2= \frac{v_3+u_2x}{u_1}\ \ \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}\ \cap \ u_1\neq 0\ \cap \ u_2\neq 0 \\\\w_3=\frac{v_1+\frac{u_3}{u_1}(v_3+u_2x)}{u_2}=\frac{v_1u_1+u_3v_3+u_2u_3x}{u_1u_2}\ \ \ \ \ \forall x\in\mathbb{R}\ \cap \ u_1\neq 0\ \cap \ u_2\neq 0$

Verificamos aqui que se o vetor w = (w1,w2,w3) podem ter infinitas soluções desde que u1 e u2 sejam diferentes de 0 e que safisfaçam as relações acima. Se isolarmos de forma diferente o sistema inicial para encontrarmos os valores de w, podemos encontrar outras parametrizações que podem exigir que as variáveis u2 e u3 ou u1 e u3 sejam diferentes de 0. Então se 2 das coordenadas de u fossem diferentes de 0, então há uma infinidade de soluções para w, respeitando uma determinada parametrização.

Se duas das coordenadas de u fossem iguais a 0, v obrigatoriamente deveria obedecer certas relações. Por exemplo, Seja u1 e u2 iguais a 0, então o sistema ficaria:

$v_1=-u_3w_2\\v_2=u_3w_1\\v_3=0$

Então, há uma fórmula geral para o vetor w, mas ela vai variar para cada restrição do sistema, devido a problemas com divisão por 0.