Question

O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por y = 2x2 – 100x + 5000. Encontre o custo mínimo que é o vértice da parábola representado pelo y. Cálculo do vértice da parábola X= -b/2a Y= - ∆/4a O calculo do x representa a quantidade de produto produzido e y representa o custo dessa produção. Y= - ( 100.100 – 4. 2.5000)/4.2 - Calcule o custo mínimo:

Answer 1

Boa noite

C(x) = 2x² – 100x + 5000

a = 2
b = -100
c = 5000

vértice
Vx = -b/2a = 100/4 = 25

delta
d² = 10000 - 4*2*5000 
d² = -30000

Vy = -d²/4a = 30000/8
Vy = 3750 R$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Lu, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o valor do custo mínimo para a produção de um produto, cuja equação do custo total, para produzir "x' unidades, é dada por:

y = 2x² - 100x + 5.000 

ii) Agora veja: a quantidade mínima para que se obtenha o custo mínimo será dada pelo "x" do vértice (xv) da parábola da equação dada. E o "x" do vértice é dado pela seguinte fórmula: 

xv = -b/2a 

Note que os coeficientes da equação dada [y = 2x² - 100x + 5.000] são estes: a = 2 --- (é o coeficiente de x²); b = -100 (é o coeficiente de x); c = 5.000 (é o coeficiente do termo independente). Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula do "xv" acima, teremos:

xv = -(-100)/2*2
 xv = 100/4
 xv = 25 <--- Esta é a quantidade mínima produzida que dá o custo mínimo. 

iii) Agora vamos encontrar qual é esse custo mínimo. Há duas formas de obter esse custo mínimo: uma é simplesmente ir na expressão dada e substituir o "x" por "25", que é a quantidade mínima para a obtenção do valor do custo mínimo. A outra forma é com a aplicação da fórmula do "y" do vértice (yv) da parábola da equação dada [y = 2x² - 100x + 5.000]. Vamos fazer pelas duas formas pra você verificar que elas são equivalentes. 

iii.1) Substituindo-se "x" por "25" na equação dada, que é esta:
y = 2x² - 100x + 5.000 ---- substituindo-se "x" por "25", temos: 
y = 2*(25)² - 100*25 + 5.000
y = 2*625 - 100*25 + 5.000 ---- efetuando os produtos indicados, temos:
y = 1.250 - 2.500 + 5.000 --- efetuando esta soma algébrica, temos:

y =3.750,00 <--- Este é o valor do custo mínimo obtido pela simples substituição de x" por "25".


iii.2) Utilizando-se a fórmula do "y" do vértice (yv), temos:

yv = - (Δ)/4a ---- sendo Δ = b² - 4ac. Assim, substituindo, temos:
yv = - (b²-4ac)/4a ---- substituindo-se cada coeficiente por seu valor, teremos: 
yv = -((-100)² - 4*2*5.000)/4*2
 yv = - (10.000 - 40.000)/8
 yv = -(-30.000)/8 ---- retirando-se os parênteses, teremos:

yv = +30.000/8 --- note que esta divisão dá exatamente "3.750". Logo:

yv = 3.750,00 <--- Veja que a resposta é a mesma que encontramos quando substituímos o  "x" por "25".

iv) Logo, a quantidade mínima e o custo mínimo serão estes:

Quantidade mínima: produção de 25 unidades do produto.
Custo mínimo: R$ 3.750,00, que é obtido com a produção de 25 unidades.


É isso aí.
Deu pra entender bem?


OK?
Adjemir.