Question

Avalie as seguintes afirmativas acerca de uma função f left parenthesis x right parenthesis real, univariada, e duplamente diferenciável. I. Se f to the power of apostrophe apostrophe end exponent left parenthesis x subscript 0 right parenthesis greater than 0, então a função é convexa ao redor de x subscript 0. II. Quando f to the power of apostrophe apostrophe end exponent left parenthesis x subscript 0 right parenthesis equals 0, é possível que x subscript 0 seja ponto de inflexão. III. A função f left parenthesis x right parenthesis equals ln x é convexa para todo x real positivo. IV. Se f to the power of apostrophe left parenthesis x subscript 0 right parenthesis equals 0 e f to the power of apostrophe apostrophe end exponent greater than 0, então x subscript 0 é um ponto de mínimo. Assinale a alternativa correta sobre as afirmativas apresentadas

Answer 1

Olá! 
 
    Creio que este seja o enunciado correto:

"Avalie as seguintes afirmativas acerca de uma função  $f(x)$  real, univariada e duplamente diferenciável.

I - Se   $f''(x_0)>0,$   então a função é convexa ao redor de   $x_0.$


II - Quando   $f''(x_0)=0,$   é possível que   $x_0$   seja ponto de inflexão.


III - A função   $f(x)=\ln{x}$   é convexa para todo   $x$   real positivo.


IV - Se   $f'(x_0)=0$   e   $f''(x_0)>0,$   então   $x_0$   é um ponto de mínimo."


    Vamos lá!
 
    O item (I) é falso, pois a derivada segunda positiva indica uma vizinhança côncava do ponto (o gráfico tem "boca para cima").
  
    O item (II) é verdadeiro, pois os pontos críticos da derivada segunda (onde ela se anula) são os candidatos a pontos de inflexão do gráfico da função.
  
    O item (III) é verdadeiro, pois

$f(x)=\ln{x}\Rightarrow f'(x)=\dfrac{1}{x}\Rightarrow f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}$

que é negativo, visto que estamos lidando com os valores positivos de x. Em outras palavras, para valores positivos de x, a função é convexa ("boca para baixo")
  
    O item (IV) é verdadeiro, pois isso é exatamente o que diz o teste da segunda derivada.



     Portanto, a resposta é:  F - V - V - V.



Bons estudos!