Question

Se cos alfa = 2/3 e 3pi/2 < alfa < 2pi, calcule tangente de alfa

Answer 1

$\cos \alpha=\dfrac{2}{3},\;\;\;\dfrac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$


$1+\mathrm{tg}^{2\,}\alpha=\sec^{2} \alpha\\ \\ \mathrm{tg}^{2\,}\alpha+1=\left(\dfrac{1}{\cos \alpha} \right )^{2}\\ \\ \mathrm{tg}^{2\,}\alpha=\left(\dfrac{1}{\cos \alpha} \right )^{2}-1\\ \\ \mathrm{tg}^{2\,}\alpha=\left(\dfrac{1}{\,^{2}\!\!\!\diagup\!\!_{3}} \right )^{2}-1\\ \\ \mathrm{tg}^{2\,}\alpha=\left(\dfrac{3}{2}\right )^{2}-1\\ \\ \mathrm{tg}^{2\,}\alpha=\dfrac{3^{2}}{2^{2}}-1\\ \\ \mathrm{tg}^{2\,}\alpha=\dfrac{9}{4}-1\\ \\ \mathrm{tg}^{2\,}\alpha=\dfrac{9-4}{4}\\ \\ \mathrm{tg}^{2\,}\alpha=\dfrac{5}{4}$


Como $\alpha$ é um arco do 4º quadrante, a sua tangente é negativa. Então, desprezamos o sinal positivo quando tiramos a raiz quadrada dos dois lados da equação acima, e ficamos com

$\mathrm{tg\,}\alpha=-\sqrt{\dfrac{5}{4}}\\ \\ \mathrm{tg\,}\alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}\\ \\ \boxed{\mathrm{tg\,}\alpha=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}}$