Question

Calcule o valor real de k na equação a seguir, em que x é a incógnita, de modo que o produto de suas raizes reais seja igual à soma dessas mesmas raízes. 3x²+(k+7)x-2=0

Answer 1

Dada uma equação quadrática na forma ax² + bx + c = 0, é sabido que os valores que a solucionam são tais que:

{x₁ + x₂ = -b/a
{x₁ · x₂ = c/a

Onde x₁ e x₂ são as raízes da equação.

Seja a equação 3x² + (k + 7)x - 2 = 0, onde a soma das raízes é igual ao produto das raízes, deve ocorrer: -b/a = c/a. 

Porém, antes de mais nada, devemos garantir que a equação possua raízes. Isto é, devemos garantir que Δ = b² - 4ac ≥ 0.

Δ = (k+7)² - 4·3·(-2) ≥ 0 
Δ = k² + 14k + 49 + 24 ≥ 0
Δ = k² + 14k + 73 ≥ 0 

Mas k² + 14k + 73 > 0 para qualquer k real, logo 3x² + (k + 7)x - 2 = 0 sempre terá duas raízes reais e distintas (Δ > 0), qualquer que seja k ∈ lR.

Garantido que as raízes existem:

-b/a = c/a ⇔ -(k + 7)/3 = -2/3 ⇔ -(k + 7) = -6/3 ⇔ -(k + 7) = -2 ⇔ k + 7 = 2
⇔ k = -5 (solução)

Se k = -5, então a soma das raízes será igual ao produto das raízes. 

Verificando a solução:

Substituindo k = -5 a equação se torna 3x² + 2x - 2 = 0, onde:

{x₁ + x₂ = -b/a = -2/3
{x₁ · x₂ = c/a = -2/3

Onde x₁ e x₂ são as raízes da equação.

Ou seja, a soma das raízes é igual ao produto das raízes, como queríamos.