Question

a reta r: y=xm + 3 e z=x-1 é ortogonal à reta determinada pelos pontos A(1,0,m) e B(-2,2m,2m) calcular o valor de m

Answer 1

Temos que:

$r: \left \{ {{y=mx+2} \atop {z=x-1}} \right.$

O vetor direção de r é u = (1,m,1).

Como A = (1,0,m) e B = (-2,2m,2m), então, a reta que passa por A e B possui direção v = (-2-1, 2m - 0, 2m - m) = (-3,2m,m)

Do enunciado, temos que as retas são perpendiculares. Então, o produto interno entre u e v tem que ser igual a 0:

<u,v> = 0
(1,m,1)(-3,2m,m) = 0
-3 + 2m² + m = 0
2m² + m - 3 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau pela fórmula de Bháskara:

Δ = 1² - 4.2.(-3)
Δ = 1 + 24
Δ = 25

$m = \frac{-1+- \sqrt{25} }{2.2}$
$m= \frac{-1+-5}{4}$

$m'= \frac{-1+5}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$m"= \frac{-1-5}{4} = \frac{-6}{4} = - \frac{3}{2}$

Portanto, m é igual a 1 ou igual a $- \frac{3}{2}$