Question

(fgv-sp) em uma progressão aritmética de termos positivos, o primeiro termo, o quinto termo e o vigésimo primeiro termo formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. A razão dessa progressão é:

a) 2
b) 4
c) 16
d) 20
e) impossível ser determinada

spoiler: resposta certa "b"

Answer 1

Bom ele diz que temos uma P.G com os seguintes elementos que faziam parte de uma P.A:

P.G = {a1; a5; a21}

Desenvolvendo cada elemento com o termo geral da P.A temos:
a1 = a1+(1-1).r
a5 = a1+(5-1).R = a1+4r
a21 = a1+(21-1).R = a1+20r

Então a P.G é:
P.G = {a1; a1+4r; a1+20r}

Nesse caso, temos que saber que o quadrado do segundo termo é sempre o primeiro termo multiplicado pelo terceiro. Exemplos:
[1,2,4] -----> 2²=1x4
[2,8,32] -----> 8² = 2.32

Portanto basta seguir tal fórmula:
a2² = a1 x a3
(a1+4r)² = a1 x (a1+20r)
a1²+4r x a1+4r x a1 +16r² = a1²+a1 x 20r
4r x a1+4r x a1 +16r² = a1 x 20r
4r x (a1+ a1 +4r) = a1 x 20r
a1+ a1 +4r = a1 x 20r/4r
2a1 +4r = 5a1
4r = 3a1
a1 = 4r/3

Sabemos a relação entre a razão e o primeiro termo, vamos achar a razão agora:

r = a2/a1 = (a1+4r)/a1 =  1+(4r/a1) = 1+(4r/4r/3) = 1+ 3 = 4

Logo, a razão é 4