Question

Um baralho possui 32 cartas divididas em 4 tipos,cada um com 8 cartas. De quantas formas podemos escolher 6 cartas de modo que todos os quatro tipos de cartas estejam entre ela?

Answer 1

Olá!

Temos uma questão de analise combinatoria, então para resolver primeiro vamo a dividir as escolhas de cartas  em dois grupos possiveis:

Grupo E₁ = Dois tipos são representados por duas cartas e os outros dois tipos restantes por apenas uma carta cada.


Grupo E₂ = Um tipo é representado por três cartas e os outros três tipos restantes por apenas uma carta cada.


Então, para contar o numero de cartas do grupo E₁, podemos escolher os dois tipos que serão representados por duas cartas de $\left[\begin{array}{ccc}4\\2\\\end{array}\right]$ formas.


Depois podemos escolher duas cartas dentre as 8 de cada um destes tipos de $\left[\begin{array}{ccc}8\\2\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}8\\2\\\end{array}\right]$  Finalmente, escolher as cartas restantes nos grupos que restaram de $\left[\begin{array}{ccc}8\\1\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}8\\1\\\end{array}\right]$


Assim seria:  

$\left[\begin{array}{ccc}4\\2\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}8\\2\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}8\\2\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}8\\1\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}8\\1\\\end{array}\right]$

Isso é: 
 $\left[\begin{array}{ccc}4\\2\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}8\\2\\\end{array}\right]^{2} * 8^{2}$


Agora, para contar a quantidade de cartas de E₂, podemos escolher o tipo que será representado por 3 cartas de  $\left[\begin{array}{ccc}4\\1\\\end{array}\right]$ formas.  


Logo, as três cartas deste tipo podem ser escolhidas de  $\left[\begin{array}{ccc}8\\3\\\end{array}\right]$ formas e Finalmente, podemos escolher as cartas restantes dos três grupos que restaram de
 $\left[\begin{array}{ccc}8\\1\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}8\\1\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}8\\1\\\end{array}\right]$


Assim seria:

$\left[\begin{array}{ccc}4\\1\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}8\\3\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}8\\1\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}8\\1\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}8\\1\\\end{array}\right]$


Isso é:

$\left[\begin{array}{ccc}4\\3\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}8\\3\\\end{array}\right] * 8^{3}$


Assim, a quantidade de escolhas é a soma dos dois grupos $E_{1} + E_{2}$:


$\left[\begin{array}{ccc}4\\2\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}8\\2\\\end{array}\right]^{2} * 8^{2} + \left[\begin{array}{ccc}4\\3\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}8\\3\\\end{array}\right] * 8^{3}$

$E_{1} + E_{2} = 415744 formas$