Question

O volume do sólido obtido coma rotação, em torno do eixo x, da região definida por y= raiz de x onde 1<= x >= 5
repostas:
A) 12 Pi Unidades de volume
b) 25 pi Unid de vol.
c) 13 pi Unid de vol.
d) 12 pi Unid. de Vol.
e) pi Unid. de vol.

Answer 1

Calcular o volume do sólido de obtido pela rotação da região definida por

$y=\sqrt{x}$

no intervalo $[\,1,\,5\,]$.


A área da seção transversal do sólido em um ponto $x$ dentro do intervalo $1\leq x \leq 5$ é dada por

$A\left(x \right )=\pi \cdot y^{2}\\ \\ A\left(x \right )=\pi \cdot \left(\sqrt{x} \right )^{2}\\ \\ A\left(x \right )=\pi \cdot \left(\sqrt{x} \right )^{2}\\ \\ \boxed{A\left(x \right )=\pi x}$


O volume do sólido de revolução obtido é

$V=\int_{1}^{5}{A\left(x \right )\,dx}\\ \\ V=\int_{1}^{5}{\pi x\,dx}\\ \\ V=\pi\int_{1}^{5}{ x\,dx}\\ \\ V=\pi\cdot\left.\dfrac{x^{2}}{2}\,\right]_{1}^{5}\\ \\ V=\dfrac{\pi}{2}\cdot \left.x^{2}\,\right]_{1}^{5}\\ \\ V=\dfrac{\pi}{2}\cdot \left(5^{2}-1^{2} \right )\\ \\ V=\dfrac{\pi}{2}\cdot \left(25-1 \right )\\ \\ V=\dfrac{\pi}{2}\cdot 24\\ \\ V=\dfrac{24\pi}{2}\\ \\ \boxed{V=12\pi \text{ u.v.}}$