Question

Tem como alguém me explicar/ensinar passo a passo por fvr
[cos ² 17 pi/15+ sen² 17 pi/15] ^900=1

Answer 1

Identidades utilizadas, a saber, são as reduções do 3º ao 1º quadrante: 

$\bullet\hspace{6}\sin{x}=-\sin{(x-\pi)}\\\bullet~\cos{x}=-\cos{(x-\pi)}$

Temos a seguinte equação: 

$\left(\cos^2{\left(\dfrac{17\pi}{15}\right)}+\sin^2{\left(\dfrac{17\pi}{15}\right)}\right)^{900}=1$

E queremos prová-la, certo? Pode-se provar essa igualdade partindo de um membro da equação e chegando ao outro...

Antes de mexer com a expressão vou converter 17π/15 para graus.

Fator de conversão:

$\bullet~180^{\circ}=\pi~\Leftrightarrow~\dfrac{180^{\circ}}{\pi}=1$

Multiplicar uma expressão por 1 não altera seu valor. Logo:

$\dfrac{17\pi\hspace{-7}\diagup}{15}\cdot\dfrac{180^{\circ}}{\pi\hspace{-7}\diagup}=\dfrac{17\cdot180^{\circ}}{15}=\dfrac{3060^{\circ}}{15}=204^{\circ}$

Sendo assim

$\left(\cos^2{\left(\dfrac{17\pi}{15}\right)}+\sin^2{\left(\dfrac{17\pi}{15}\right)}\right)^{900}\hspace{-5}=1~\Leftrightarrow~\left(\cos^2{210^{\circ}}+\sin^2{210^{\circ}}\right)^{900}\hspace{-2}=1$

Lembrando que a² = a·a, têm-se

$\left(\cos^2{210^{\circ}}+\sin^2{210^{\circ}}\right)^{900}=1\\\\ \left((\cos{210^{\circ}})(\cos{210^{\circ}})+(\sin{210^{\circ}})(\sin{210^{\circ}})\right)^{900}=1\\\\((\cos{210^{\circ}})^2+(\sin{210^{\circ}})^2)^{900}=1$

Utilizando as identidades que eu destaquei no começo, obtêm-se:

$\left((\cos{210^{\circ}})^2+(\sin{210^{\circ}})^2\right)^{900}=1\\\\\left((-\cos{30^{\circ}})^2+(-\sin{30^{\circ}})^2\right)^{900}=1$

30º é um ângulo notável, suas funções trigonométricas, isto é, sen 30º, cos 30º, tg 30º etc., são bem conhecidas, substituindo os valores de sen 30º e cos 30º na equação, obtemos:

*Todo número real, diferente de 0, elevado ao quadrado, é positivo.

$\left((-\dfrac{1}{2})^2+(-\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2\right)^{900}=1\\\\\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\right)^{900}=1\\\\\left(\dfrac{4}{4}\right)^{900}=1\\\\1^{900}=1$

O número 1, quando elevado a um expoente real, é igual a ele mesmo.

900 é um número real, logo: 

$1^{900}=1~\Leftrightarrow~1=1$

Como queríamos mostrar.