Question

A) limite: x²-9
........................=
x...1 x² -6x+ 8

B) O LIMITE X² -9
----------------=
X.. -3 X² - 6X + 8

C) O LIMITE X² -4X - 21
------------------=
X.. -3 X+3

D) O LIMITE X² + 2
---------------- =
X... 6- X² +X-30

Answer 1

$\lim_{x \to1} ( \frac{x^2-9}{x^2-6x+8} ) = \frac{(1)^2-9}{(1)^2-6*(1)+8}= \frac{-8}{3}$

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$\lim_{x \to -3} (\frac{x^2-9}{x^2-6x+8} ) = \frac{(-3)^2-9}{(-3)^2-6*(-3)+8} = \frac{0}{35}=0$

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$\lim_{x \to -3} ( \frac{x^2-4*x-21}{x+3} ) = \frac{(-3)^2-4*(-3)-21}{(-3)+3}= \frac{0}{0}\to [\text{indeterminacao}]$

fatorando a equação do numerador
$\boxed{x^2-4x-21}$

A= 1
B = -4
C = -21
primeiro vc encontra as raízes
r' e r''  ..pode usar bhaskara pra isso se quiser
depois escreve na forma fatorada usando a formula

$\boxed{\boxed{A*(x-r')*(x-r'')}}$

calculando as raízes
quando vc substituiu x por -3 o resultado da equação deu 0 
isso significa que -3 é uma das raízes da equação
logo
r' = -3

calculando as raízes por soma e produto

$(r')*(r'') = \frac{C}{A} \\\\ (-3)*(r'') = \frac{-21}{1} \\\\r'' = \frac{-21}{-3}\\\\r'' =9$

escrevendo na forma fatorada a equação fica

$(x-(-3))*(x-9) =\boxed{(x+3)*(x-9)}$

agora vc tem 

$\lim_{x \to -3} \frac{(x+3)*(x-9)}{(x+3)} \\\\ \lim_{x \to -3} (x-9) = (-3 -9) = -12$

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$\lim_{x \to -6} \frac{x^2+2}{x^2+x-30} = \frac{(6)^2+2}{(-6)^2+(-6)-30} = \frac{38}{0}\to [\text{Indeterminacao}]$

quando acontece de ter o 0 só no denominador vc calcula os limites laterais

então vc calcula
$\lim_{x \to -6^{-}}=\text{x tendendo a (-6) pela esquerda}$

escolhe valores x que estão se aproximando de -6 pela esquerda 
então vc calcula para 
x= -6,5
x = -6,01
x= -6,001
sempre se aproximando de 6 e ve oq acontece

pra 
x =-6,5 ..f(-6,5)= 7,7
x= -6,01 ...f(-6,01) = 346,232
x=-6,001 .....f(-6,001)= 3455,32

pode se ver que quando x se aproxima de -6 pela esquerda
a função tende a + infinito

$\boxed{ \lim_{x \to -6^{-}}=+ \infty}$

agora calculando o outro limite lateral
$\lim_{x \to -6^{+}}=\text{x tendendo a (-6) pela direita}$

usa 
x= -5,5 ...f(x) = -6,14
x= -5,9  ...f(x) = -33,706
x= -5,99....f(x) =-344,67

cada vez que se aproxima de -6 a funçao tende a valores mais altos e negativos
então
$\lim_{x \to -6^{+}}= -\infty$

como os limites laterais são diferentes
o limite da função não existe