Question

o ponto c(x,y) e equidistante dos pontos q(1,2) e r(6,7).Determine a equacao que relaciona x e y

Answer 1

Se um ponto $C\left(x,\,y \right )$ é equidistante dos pontos $Q\left(x_{_{Q}},\,y_{_{Q}} \right )$ e $R\left(x_{_{R}},\,y_{_{R}} \right )$, então $C$ é um ponto da reta mediatriz do segmento $\overline{QR}$. A equação que relaciona $x$ e $y$ é a equação desta reta mediatriz.


A reta mediatriz do segmento $\overline{QR}$ é a reta que é ortogonal a este segmento (forma um ângulo de $90^{\circ}$), e passa pelo ponto médio deste segmento.


$\bullet\;\;$ Calcular as coordenadas $\left(x_{_{M}},\,y_{_{M}} \right )$ do ponto médio do segmento $\overline{QR}$:

$x_{_{M}}=\dfrac{x_{_{Q}}+x_{_{R}}}{2},\;\;\;y_{_{M}}=\dfrac{y_{_{Q}}+y_{_{R}}}{2}\\ \\ x_{_{M}}=\dfrac{1+6}{2},\;\;\;y_{_{M}}=\dfrac{2+7}{2}\\ \\ x_{_{M}}=\dfrac{7}{2},\;\;\;y_{_{M}}=\dfrac{9}{2}$

O ponto médio é o ponto $M\left(\dfrac{7}{2},\,\dfrac{9}{2} \right )$.


$\bullet\;\;$ Calcular o coeficiente angular $m$ da reta suporte do segmento $\overline{QR}$:

$m=\dfrac{y_{R}-y_{Q}}{x_{R}-x_{Q}}\\ \\ m=\dfrac{7-2}{6-1}\\ \\ m=\dfrac{5}{5}\\ \\ m=1$


$\bullet\;\;$ Calcular o coeficiente angular $m_{\perp}$ da reta mediatriz do segmento $\overline{QR}$:

Como a reta mediatriz é ortogonal à reta suporte do segmento $\overline{QR}$, o coeficiente angular $m_{\perp}$ da reta mediatriz é o inverso negativo do coeficiente angular $m$:

$m_{\perp}=-\dfrac{1}{m}\\ \\ m_{\perp}=-\dfrac{1}{1}\\ \\ m_{\perp}=-1$


$\bullet\;\;$ Determinar a equação da reta mediatriz:

A reta mediatriz é uma reta de coeficiente angular $m_{\perp}=-1$ que passa pelo ponto médio $M\left(\dfrac{7}{2},\,\dfrac{9}{2} \right )$. Sua equação é:

$y-y_{_{M}}=m_{\perp}\cdot \left(x-x_{_{M}} \right )\\ \\ y-\dfrac{9}{2}=-1\cdot \left(x-\dfrac{7}{2} \right )\\ \\ y-\dfrac{9}{2}=-x+\dfrac{7}{2}\\ \\ y=-x+\dfrac{7}{2}+\dfrac{9}{2}\\ \\ y=-x+\dfrac{7+9}{2}\\ \\ y=-x+\dfrac{16}{2}\\ \\ \boxed{y=-x+8}$