Question

Demonstre que a área de um quadrado pode ser obtida em função da medida de sua diagonal.

Demonstre as afirmações.

a) Dobrando o valor da medida L do lado de um quadrado, a sua área se quadruplica

b) A área de um hexágono regular pode ser calculada pela fórmula A=3L²√3(sobre 2), que L é a medida do lado do hexágono

Answer 1

Olá.

A diagonal do quadrado é dada por:
$D = L\sqrt2$

E a área do quadrado é dada por:
$A = L^2$

Portanto, podemos isolar o Lado na equação da diagonal e colocá-lo na equação da área.
$D = L\sqrt2\\\\ L = \frac{D}{\sqrt2}\\\\ A = (\frac{D}{\sqrt2})^2\\\\ A = \frac{D^2}{2}$

A) 
$L = \frac{D}{\sqrt2}\\\\ 2L = \frac{2D}{\sqrt2}\\\\ A_1 = (\frac{2D}{\sqrt2})^2\\\\ A_1 = \frac{4D^2}{2}\\\\ A_1 = 2D^2\\\\\\ \frac{A_1}{A} = \frac{2D^2}{\frac{D^2}{2}} = \frac{2D^2.2}{D^2} = \frac{4D^2}{D ^2} = quadruplica$

B)
O hexágono regular é formado por 3 triângulos equiláteros. A soma das áreas de todos os triângulos é igual a área do hexágono.

Área do triângulo equilátero:
$A_T = \frac{L^2\sqrt3}{4}$

Área do hexágono:
$A_H = 6.A_T\\\\ A_H = 6.\frac{L^2\sqrt3}{4}\\\\ A_H = \frac{3.L^2\sqrt3}{2}$

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida coloque nos comentários.