Question

Supondo o lançamento de uma moeda honesta 8 vezes. A probabilidade de se obter 4 vezes o resultado cara é de aproximadamente:



INFORMAÇÃO! Antes de iniciar os cálculos fixe a calculadora em zero casas decimais.




24%


18%


29%


12%


27%

Answer 1

Utilizando a distribuição binomial de probabilidades, temos que

Em um experimento aleatório

$\bullet\;\;$ a probabilidade de sucesso é $p$

$\bullet\;\;$ a probabilidade de fracasso é $1-p$


Se este experimento aleatório é repetido $n$ vezes, a probabilidade de ocorrer exatamente $k$ sucessos (o que equivale a ocorrer exatamente $n-k$ fracassos) é

$\boxed{P\left(x=k \right )=\binom{n}{k}\cdot p^{k}\cdot \left(1-p \right )^{n-k}}$


Para esta questão, o experimento aleatório é o lançamento de uma moeda honesta

$n=8\text{ vezes}\\ \\ k=4\text{ vezes o resultado cara}$

O sucesso é o evento "sair cara em um lançamento" e o fracasso é "não sair cara em um lançamento".

A probabilidade de sucesso é

$p=P\left(\text{sair cara} \right )=\dfrac{1}{2}$


A probabilidade de fracasso é

$1-p=P\left(\text{n\~{a}o sair cara} \right )=1-\dfrac{1}{2}\\ \\ 1-p=\dfrac{1}{2}$


Então, a probabilidade de se obter exatamente $4$ caras em $8$ lançamentos é

$P\left(x=4 \right )=\dbinom{8}{4}\cdot \left(\dfrac{1}{2} \right )^{4}\cdot \left(\dfrac{1}{2} \right )^{8-4}\\ \\ P\left(x=4 \right )=\dfrac{8!}{4!\cdot \left(8-4 \right )!}\cdot \left(\dfrac{1}{2} \right )^{4}\cdot \left(\dfrac{1}{2} \right )^{4}\\ \\ P\left(x=4 \right )=\dfrac{8!}{4!\cdot 4!}\cdot \left(\dfrac{1}{2} \right )^{4+4}\\ \\ P\left(x=4 \right )=\dfrac{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \diagup\!\!\!\!\!4!}{4!\cdot \diagup\!\!\!\!\!4!}\cdot \left(\dfrac{1}{2} \right )^{8}\\ \\ P\left(x=4 \right )=\dfrac{8\cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\cdot \dfrac{1}{2^{8}}\\ \\ P\left(x=4 \right )=70\cdot \dfrac{1}{256}\\ \\ \boxed{P\left(x=4 \right )=\dfrac{70}{256} \approx 27\%}$