Question

Mais uma super-questão. Valendo 20 pontos

Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos $f_{1} , f_{2}$ (focos)do mesmo plano, é uma constante (2a),onde $2a\ \textgreater \ d( f_{1} , f_{2})"$ .Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base
Geometria Analítica
sobre elipse, identifique as sentenças verdadeiras com V e as falsas com F:

( ) A equação da elipse de focos $f_{1}(0,3)e , f_{2}(0,-3)$, dado que o comprimento do eixo menor é 2 é$x^{2}+ \frac{y ^{2} }{10} =1$ .
( ) A equação da elipse com distância focal igual a 10, o eixo maior com comprimento 16, contido no eixo dos x, tem equação $\frac{x^{2} }{64} + \frac{ y^{2} }{39}=1$ .
( ) A forma padrão da equação da elipse com focos no eixo dos x é $\frac{x^{2} }{b^{2} } + \frac{ y^{2} }{a^{2} }=1$ , então os valores de $a$ e $b$ na equação $4x^2+25y^2-100=0$ $a=25$ e $b=4$ .

Answer 1

As afirmações são V-V-F.

Essa questão é sobre elipses.  

A equação reduzida da elipse com focos no eixo x é da forma x²/a² + y²/b² = 1. Algumas relações da elipse são:

• a² = b² + c²

• Medida do eixo maior = 2a

• Medida do eixo menor = 2b

• Distância entre os focos = 2c

Analisando as afirmações

• VERDADEIRA

Se os focos são (0, 3) e (0, -3) no eixo y, temos que 2c = 6. O comprimento do eixo menor é 2, então 2b = 2. Logo:

c = 3

b = 1

a² = 3² + 1²

a² = 10

A equação da elipse com focos no eixo y é:

x²/b² + y²/a² = 1

Substituindo os valores:

x² + y²/10 = 1

• VERDADEIRA

Se a distância focal é 10, temos 2c = 10. O eixo maior mede 16, logo, 2a = 16. O eixo é o eixo x, então a equação será da forma x²/a² + y²/b² = 1.

c = 5

a = 8

8² = b² + 5²

b² = 39

A equação será:

x²/64 + y²/39 = 1

• FALSA

A equação é 4x² + 25y² - 100 = 0. Dividindo tudo por 100, temos:

x²/25 + y²/4 = 1

Logo, a = 5 e b = 2.

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