Question

Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos X da área sombreada do exercício 1, ou seja, gerado pela função y = 3x² + 1 , sabendo que é dado pela fórmula: V = π. ∫bay²dx.

Answer 1

$V=\pi\cdot \int_{a}^{b}{y^{2}\,dx}\\ \\ \\ a=0,\;\;b=1\\ \\ y=3x^{2}+1\\ \\ \\ V=\pi\cdot \int_{0}^{1}{\left(3x^{2}+1 \right )^{2}\,dx}\\ \\ V=\pi\cdot \int_{0}^{1}{\left[\,\left(3x^{2} \right )^{2}+2\cdot 3x^{2}\cdot 1+1^{2}\, \right ]\,dx}\\ \\ V=\pi\cdot \int_{0}^{1}{\left[\,9x^{4}+6x^{2}+1\, \right ]\,dx}\\ \\ V=\pi\cdot \left[\,\dfrac{9x^{5}}{5}+\dfrac{6x^{3}}{3}+x\, \right ]_{0}^{1}\\ \\ V=\pi\cdot \left[\,\dfrac{9x^{5}}{5}+2x^{3}+x\, \right ]_{0}^{1}\\ \\ V=\pi\cdot \left[\,\left(\dfrac{9 \cdot 1^{5}}{5}+2\cdot 1^{3}+1 \right )-\left(\dfrac{9 \cdot 0^{5}}{5}+2 \cdot 0^{3}+0 \right )\, \right ]\\ \\ V=\pi\cdot \left[\,\dfrac{9}{5}+2+1\, \right ]\\ \\ V=\pi\cdot \left[\,\dfrac{9+10+5}{5}\, \right ]\\ \\ V=\pi\cdot \left[\,\dfrac{24}{5}\, \right ]\\ \\ \boxed{V=\dfrac{24\pi}{5}\text{ u.v.}}$