A posição dos polos é determinante para verificar a estabilidade de sistemas dinâmicos. No domínio da frequência de Laplace, todos os polos devem estar no semi-plano esquerdo, como apresentado na Figura 1 para se determinar estabilidade.
Figura 1 - Semi-planos no domínio s.
Semi-planos direito e esquerdo.
Fonte: Mello, Guilherme 2018.
No domínio da frequência da Transformada Z, todos os polos devem estar dentro da circunferência unitária, apresentada na Figura 2.
Figura 2 - Polos e zeros no interior de uma circunferência unitária de sinal estável.
Transformada Z - CircUnitário
Fonte: Mello, Guilherme 2018.
Valores externos, no primeiro caso, a direita do eixo vertical, torna o sistema instável; igualmente para elementos externos a circunferência, no segundo caso.
O filtro H(s) pode-se converter a partir da função de transferência Q(s) através da frequência de corte normalizada Ωc:
H left parenthesis s right parenthesis space equals space fraction numerator capital omega subscript c over denominator Q left parenthesis s divided by capital omega subscript c right parenthesis end fraction
De forma que:
s space equals space 2 over T subscript s open parentheses fraction numerator 1 minus z to the power of negative 1 end exponent over denominator 1 plus z to the power of negative 1 end exponent end fraction close parentheses
Em que Ts é o período do sinal e uma vez que o mapeamento da variável s no plano z não é linear, é necessário fazer correção na frequência de corte, ou pre-warping, por:
omega space equals space 2 space tan to the power of negative 1 end exponent space open parentheses fraction numerator capital omega space T subscript s over denominator 2 end fraction close parentheses
Projete um filtro de Butterworth digital de ordem 1 e frequência de corte 0,5π rad/s, com período de amostragem 1s:
Respostas
16.159(5.788)^n-0.136(0.541)^n-0.136(-0.541)^n
correto, corrigido pelo AVA
Resposta:
h[n]= 16.159(5.788)^n-0.136(0.541)^n-0.136(-0.541)^n
Explicação:
A forma mais comumente encontrada da Transformada de Laplace na engenharia é uma razão de polinômios em s (forma expandida).
A Resposta ao Impulso, h(t), de um SLITC pode ser obtida pela Transformação de Laplace Inversa da Função de Transferência, H(s). Para obter uma transformada inversa única, devemos conhecer a RDC ou ter algum conhecimento a respeito da Resposta ao Impulso. A descrição de um SLITC em termos de equação diferencial não possui esta informação. Daí para se calcular a Resposta ao Impulso devemos ter um conhecimento adicional das características do sistema. As relações entre os polos, os zeros e as características do sistema podem proporcionar este conhecimento adicional.