Question

12. (Imed 2015) O treinamento sobre prevenção e combate a incêndio para os funcionários de uma determinada empresa foi realizado em um auditório com capacidade para 300 pessoas sentadas. O auditório possui 12 poltronas na primeira fileira,16 poltronas na segunda fileira,
20 na terceira e assim sucessivamente, segundo uma progressão aritmética. Considerando a capacidade máxima de poltronas, é correto afirmar que o número total de fileiras é igual a:
a)10.
b)12.
c)15.
d)18.

Answer 1

• Se o auditório tem capacidade para 300 pessoas sentadas, então podemos presumir que há 300 poltronas nesse auditório. 

• As poltronas estão dispostas em fileiras.

• As fileiras estão dispostas em ordem crescente de poltronas, onde a diferença de cada fileira para a anterior, a partir da segunda, é de 4 poltronas.

Isto é, as fileiras estão dispostas de acordo com a seguinte P.A.                                      
                                    (a₁ = 12, a₂ = 16, a₃ = 20, ... a_{n}) 

De razão 4.

Para descobrir quantas fileiras existem nesse auditório basta descobrir o índice do termo a_{n}, isto é, descobrir n. 

Em toda P.A. têm-se, para a soma de seus n termos iniciais:

$S_{n}=n\cdot a_{1}+\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot r$

Seja S_{n} a quantidade de poltronas, a₁ a quantidade de poltronas na primeira fileira e r = 4, então:

$300=n\cdot 12+\dfrac{n(n-1)}{2}\cdot4\\\\300=n\cdot12+n(n-1)\cdot 2\\\\300=n\cdot 12+(n^2-n)\cdot2\\\\300=n\cdot12+2n^2-2n\\\\150=n\cdot6+n^2-n\\\\n^2+5n-150=0\\\\\Delta=5^2-4\cdot1\cdot(-150)\\\\\Delta=625~\Rightarrow~\sqrt{\Delta}=25\\\\n=\dfrac{-5+25}{2}=\dfrac{20}{2}=10$

Ou seja, há 10 fileiras nesse auditório.