Question

Derivada f'(x) de $\frac{x}{x^{2}+1}$

Answer 1

Temos uma derivada do quociente. Podemos usar a seguinte propriedade para casos de derivadas do quociente,

$f'( x ) = \dfrac{g ( x ) . h' ( x ) - h ( x ) . g' ( x ) }{ [ g ( x ) ]^2 }$

Sendo o g ( x ) = x² + 1 e h ( x ) = x

Antes de tudo vamos encontrar as derivadas dessas funções.
Logo,

$g'(x)=2x^{2-1} + 0 \\ \\ g'(x) = 2x$

$h'(x)=1$

Substituindo,

$f'(x)= \dfrac{ ( x^2 + 1 ) . 1 - x ( 2x ) }{ (x^2 + 1 )^2 }$

$f'(x)= \dfrac{ x^2 - 2x^2 + 1 }{( x^2 + 1 )^2}$

$f'(x) = \dfrac{ 1 - x^2 }{ ( x^2 + 1 )^2}$