Question

calcule, ultilizando o teorema de laplace,o determinante da matriz a=(aij)3x3, onde aij=2i-j , e marque a alternativa que contém esse valor.

Answer 1

Primeiramente, vamos encontra a matriz $\mathsf{A=(a_{ij})_{3x3}}$, onde $\mathsf{a_{ij}=2i-j}$. Logo,

$\mathsf{A= \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right] }$

Calculemos os elementos da matriz,

$\mathsf{a_{11}=2.1-1=1~~~~~~~~a_{12}=2.1-2=0} \\ \mathsf{a_{21}=2.2-1=3~~~~~~~~a_{22}=2.2-2=2} \\ \mathsf{a_{31}=2.3-1=5~~~~~~~~a_{32}=2.3-2=4} \\ \\ \\ \mathsf{a_{13}=2.1-3=-1} \\ \mathsf{a_{23}=2.2-3=1} \\ \mathsf{a_{33}=2.3-3=3}$

Ficaremos com a seguinte matriz A,

$\mathsf{A= \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\3&2&1\\5&4&3\end{array}\right] }$

A questão pede o determinante pelo Teorema de Laplace. Escolheremos uma coluna qualquer, vou escolher a coluna 2. O determinante será dado pela seguinte soma,

$\mathbf{detA=0.A_{12}+2.A_{22}+4.A_{32}}$

Os cofatores A12 e A22 é encontrado por meio da seguinte relação $\mathsf{Aij=(-1)^{i+j}~.~D_{ij}}$. Esse Dij é o menor complementar da matriz e poderemos calcula-lo suprimindo a coluna e a linha do elemento escolhido, veja:

$\mathsf{D_{22}= \left[\begin{array}{cc}1&-1&\\5&3\end{array}\right] =3+5=8}$

$\mathsf{D_{32}= \left[\begin{array}{cc}1&-1\\3&1\end{array}\right]=1+3=4}$

Logo,

$\mathsf{A_{22}=(-1)^{2+2}.8=8~~~~~~~~~~A_{32}=(-1)^{3+2}.4=-4}$

Substituindo os respectivos cofatores,

$\mathsf{detA=0.A_{12}+2.8+4.(-4)} \\ \\ \\ \mathsf{detA=16-16} \\ \\ \\ \boxed{\mathbf{detA=0}}~\checkmark$