Question

São dados os vetores v1 = (1,1,1), v2=(–1,2,3) e v3 =(26,6,8). Decompor o vetor em dois vetores x e y ortogonais entre si, sendo simultaneamente ortogonal a v1 e a v2

Answer 1

Seja X(x, y, z) e Y(26 - x, 6 - y, 8 - z) os vetores procurados (observe que a soma deles dá o vetor V3) 

Agora, precisamos lembrar de duas propriedades importantes: 

1) Se dois vetores (A e B) são paralelos, então existe um escalar k tal que A = k . B 

2) O produto vetorial de dois vetores (A x B) é perpendicular a ambos os vetores A e B 

Vamos agora calcular V1 x V2: 

V1 x V2 = (1 . 3 - 1 . 2 , -[1 . 3 - 1 . (-1)] , 1 . 2 - 1 . (-1) ) = (1, - 4, 3) 

Como V1 x V2 é perpendicular a V1 e V2(assim como o vetor X), ele é paralelo a X, e por isso existe um escalar k tal que: 

X = k . (V1 x V2) 

(x, y, z) = k(1, -4, 3) 

x = k, y = -4k , z = 3k 


Se X e Y são ortogonais, então seu produto escalar dá zero, ou seja: 

x(26 - x) + y(6 - y) + z(8 - z) = 0 

Substituindo os valores de x, y e z: 

k(26 - k) + (-4k)(6 + 4k) + (3k)(8 - 3k) = 0 

(26 - k) - 4(6 + 4k) + 3(8 - 3k) = 0 

26 - k - 24 - 16k + 24 - 9k = 0 

26k = 26 

k = 1 

Portanto, os vetores procurados são X(1, -4, 3) e Y(25, 10, 5)