Question

Derivada de $\frac{\sqrt x}{x+1}$

Resposta deve ser igual 7.d

Answer 1

Vamos considerar o numerador e o denominador funções. Seja h ( x ) = √ x e g ( x ) = x + 1. Usaremos a propriedade da derivada de um quociente,

$\mathsf{f'(x)= \frac{g(x).h'(x)-h(x).g'(x)}{[g(x)]^2} }$

Antes de tudo, vamos calcular as derivadas das funções h ( x ) e g ( x ). Para calcular a derivada de h ( x ) = √ x, iremos deixar a função da seguinte maneira h ( x ) = x elevado a 1/2. Logo,

$\mathsf{h'(x)=x^{ \frac{1}{2} }} \\ \\ \mathsf{h'(x)= \frac{1}{2}x^{ \frac{1}{2}-1 } } \\ \\ \mathsf{h'(x)= \frac{1}{2}x^{ -\frac{1}{2} } } \\ \\ \mathbf{h'(x)= \frac{1}{2 \sqrt{x} } }$

Calculando a derivada de g ( x ), temos:

$\mathsf{g'(x)=x+1}$

A derivada de uma constante, ou seja, o 1 é igual a 0. Logo,

$\mathsf{g'(x)=1+0} \\ \\ \mathbf{g'(x)=1}$

Substituímos os valores na propriedade da derivada do quociente,

$\mathsf{f'(x) =\frac{(x+1) \frac{1}{2 \sqrt{x} }- \sqrt{x} }{(x+1)^2} } \\ \\ \\ \mathsf{f'(x)= \frac{ \frac{x}{2 \sqrt{x} }. \frac{1}{2 \sqrt{x} }- \sqrt{x} }{(x+1)^2} } \\ \\ \\ \mathsf{f'(x)= \frac{ \frac{x+1}{2 \sqrt{x} }- \sqrt{x} }{(x+1)^2} } \\ \\ \\ \mathsf{f'(x)= \frac{ \frac{x+1-2x}{2 \sqrt{x} } }{(x+1)^2}} \\ \\ \\ \mathsf{f'(x)= \frac{ \frac{1-x}{2 \sqrt{x} } }{(x+1)^2} } \\ \\ \\ \boxed{\mathbf{f'(x)= \dfrac{1-x}{2 \sqrt{x} ~.~(x+1)^2} }}~\checkmark$