Question

A equação da reta que passa pelo centro da curva ${4x}^{2} + {y}^{2} - 4x + 4y = 0$ e é normal ao gráfico da função real $f(x) = arc \: sen \: \sqrt{x}$ no ponto da abscissa $x = \frac{1}{2}$ é :

( Gabarito : $2y + 2x + 3 = 0$ )

#Cálculo e explicação

Answer 1

Primeiramente vamos encontrar o centro da curva

$4x^2+y^2-4x+4y=0\\\\4x^2-4x+1+y^2+4y+4=1+4\\\\(2x-1)^2+(y+2)^2=5\\\\\frac{(2*(x-\frac{1}{2}))^2}{5}+\frac{(y+2)^2}{5}=1\\\\\frac{(x-\frac{1}{2})^2}{\frac{5}{4}}+\frac{(y+2)^2}{5}=1$

Essa curva é uma elipse de centro (1/2 ; -2)

Agora vamos identificar o vetor tangente e normal a função f(x) em x=1/2

$f(x)=arcsin(\sqrt{x})\\\\sin(f(x))=\sqrt{x}\\\\(sin(f(x)))'=(\sqrt{x})'\\\\cos(f(x))*f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\\\f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}*cos(f(x))}\\\\f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}*cos(arcsin(\sqrt{x}))}\\\\\\u=arcsin(\sqrt{x})\\\\sin(u)=\sqrt{x}\\\\sin^2(u)=x\\\\1-cos^2(u)=x\\\\cos^2(u)=1-x\\\\cos(u)=\sqrt{1-x}\ \ \ (0 \leq x \leq 1)$

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}}\\\\f'(\frac{1}{2})=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{1-\frac{1}{2}}}\\\\f'(\frac{1}{2})=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1}{2}}}\\\\f'(\frac{1}{2})=1$

O coeficiente angular da normal é o oposto do inverso do coeficiente angular da reta tangente, assim, a equação parametrizada da reta é dado por:

$x=\frac{1}{2}+t\\y=-2-t\\\\t=x-\frac{1}{2}\\\\y=-2-(x-\frac{1}{2})\\\\y=-2-x+\frac{1}{2}\\\\2y=-4-2x+1\\\\\boxed{2y+2x+3=0}$