Question

Em um triângulo retângulo, as medidas, em uma mesma unidade de comprimento, do cateto menor, do cateto maior, e da hipotenusa, formam uma progressão geométrica, nessa ordem. A razão q dessa PG satisfaz a condição:
a) 0,7 b) 0,9 c) 1

Answer 1

sabendo que a medida da hipotenusa eh sempre maior, considera-se ela como sendo "n*q". Dessa forma um dos catetos é "n" e outro eh "n/q".

H = n*q
C = n
c = n/q

Utilizando pitágoras:

n² + (n/q)² = (n*q)²
n² + n²/q² = n²*q² (multiplicando todos os termos por q²)
n²q² + n² = n²*q^4
n²q^4 - n²q² = n²
n²q²(q² -1) = n² (simplificando os n²)
q² (q²-1) = 1 (aqui temos uma equação quadrática disfarçada... vou chamar q² = y)
y (y-1) = 1
y² - y -1 = 0 por soma e produto:
y = -0,6180
y' = 1,6180

sendo assim;
q² = y
q = sqrt(y) (raiz quadrada de y)

como nao existe raiz quadrada de numero negativo, vou utilizar apenar o valor de y'

q = sqrt(1,6180)
q = 1,2720