Question

Se x , y, a e b são reais positivos tais que...

Em lápis está o meu último rascunho que encontrei, não consegui colocar em função de a e b.

Answer 1

ufa, quase não consigo
questão trabalhosa amigo, talvez vc n tenha conseguido fazer pq tem certas manipulações algébricas que estao bem minuciosas nessa questão, vamos lá

√(x-y)=a

√x+√y=b

elevando os dois lados ao quadrado na primeira equação

x-y=a² > primeiro aspecto algébrico que vc tem que perceber aqui

x-y, pode ser escrito como (√x-√y)(√x+√y)
pq isso é exatamente igual a (√x)²-(√y)²=x-y
esse é o produto notável do quadrado da soma pela diferença, aplicando essa ideia

(√x+√y)(√x-√y)=a² mas √x+√y=b como na 2° equação substituindo..
b(√x-√y)=a²
√x-√y=a²/2
agora temos duas equações e vamos tratar isso como um sistema de equações

√x+√y=b
√x-√y=a²/b

somando as duas equações

2√x=b+a²/b
2√x=b²+a²/b
√x=b²+a²/2b já achamos √x vamos achar √y substituindo √x na primeira equação (ou na segunda tanto faz)

b²+a²/2b+√y=b

$\sqrt{y} = b - ( \frac{ {b}^{2} + {a}^{2} }{2b} )$
$\sqrt{y} = b - \frac{ {b}^{2} - {a}^{2} }{2b}$
√y=2b²- b²-a²/2b

√y=b²-a²/2b

pronto, tendo √x e √x bastante realizar o produto entre eles

√x√x=(b²-a²)(b²+a²)/2b.2b
√xy=b⁴-a⁴/4b²