Question

Uma janela formada por um retângulo encimado de um triângulo equilátero tem 16 metros de perímetro, obter as dimensões do retângulo da janela sabendo que por ela passa o máximo de luz

Answer 1

Perímetro é a soma de todos os lados
4A + 2B = 16  ÷(2)
2A + B = 8 
B = 8 - 2A → Equação 1

altura (h)
h² = (A/2)² + A2
h² = A²/4 + A²
h² = $\frac{ A^{2}+4 A^{2} }{4}$
h² = $\frac{5 A^{2} }{4}$
h = $\sqrt{ \frac{5 A^{2} }{4} }$
h = $\frac{ \sqrt{5 A^{2} } }{2}$

Se passa o máximo de luz, a Janela é máxima. (Derivada da função da janela = J' )
Área do retângulo = base x altura
Ar = B x A
Ar = (8 - 2A)*A
Ar = 8A - 2A²

Área do triângulo = (base x altura)/2 
At = (A x h)/2
At = $\frac{( A*\frac{ \sqrt{5 A^{2} } }{2} )}{2}$
At = $A\sqrt{5 A^{2} }$

Janela = At + Ar
J(A) = 8A - 2A² + $A\sqrt{5 A^{2} }$ 
        = 8A - 2A² + $\sqrt{5}$ * $(A^{2} )^{ \frac{1}{2 } }$
        = 8A - 2A² + $\sqrt{5}$*A  

Janela c/ dimensões máximas
J'(A) = 8 - 4A + $\sqrt{5}$
J'(A) = 0
8 - 4A + $\sqrt{5}$ = 0
8 + $\sqrt{5}$ = 4A
A = $\frac{8+ \sqrt{5} }{4}$

Usando a equação 1 para achar B
B = 8 - $2* \frac{8+ \sqrt{5} }{4 }$
B = 8 - $\frac{8+ \sqrt{5} }{2}$
B = $\frac{16 - 8 + \sqrt{5} }{2}$
B = $\frac{8 + \sqrt{5} }{2}$