Question

Calcule a integral definida:

Answer 1

∫  e^|x|) * sen x   dx  =∫  e^x * sen x   dx +∫  e^(-x) * sen x   dx

1ª trecho para x>=0
2ª trecho  para x<0


Se x>=0
∫  e^(x) * sen x   dx

Fazendo por partes:

u=sen x  ==> du= cos x dx

e^(x) dx = dv  ==> ∫ e^(x) dx = ∫ dv   ==> e^(x) =v

∫  e^(x) * sen x   dx  = e^(x) * sen x - ∫ e^(x) * cos(x) dx

**∫ e^(x) * cos(x) dx 
**u=cos(x)  ==> du=-sen(x) dx
**e^(x) dx = dv  ==> ∫ e^(x) dx = ∫ dv   ==> e^(x) =v
**∫ e^(x) * cos(x) dx  =e^(x) * cos(x) + ∫e^(x) * sen(x) dx

∫  e^(x) * sen x   dx  = e^(x) * sen x - [e^(x) * cos(x) + ∫e^(x) * sen(x) dx]


∫  e^(x) * sen x   dx  = e^(x) * sen x - e^(x) * cos(x) - ∫e^(x) * sen(x) dx]

2*∫  e^(x) * sen x   dx  = e^(x) * sen x - e^(x) * cos(x) =e^(x) *(sen(x) -cos(x))

 ∫ e^(x) * sen x   dx  =[ e^(x) *(sen(x) -cos(x)) ]/2

_____________________________________________

Se x<0
∫  e^(-x) * sen x   dx  

u=sen(x)  ==>du=cos(x) dx

e^(-x) dx =dv ==>∫ e^(-x) dx = ∫ dv  ==> -e^(-x) =v

∫  e^(-x) * sen x   dx  =  -e^(-x) * sen(x) + ∫ e^(-x) cos(x) dx

*** ∫ e^(-x) cos(x) dx
*** u=cos(x)   ==>du=-sen(x) dx
***e^(-x) dx=dv   ==> ∫e^(-x) dx=∫ dv  ==>-e^(-x) = v
*** ∫ e^(-x) cos(x) dx =-e^(-x) * cos(x) - ∫e^(-x)   sen(x) dx

∫  e^(-x) * sen x   dx  =  -e^(-x) * sen(x) + ∫ e^(-x) cos(x) dx

∫  e^(-x) * sen x   dx  =  -e^(-x) * sen(x) -e^(-x) * cos(x) - ∫e^(-x)   sen(x) dx

2*∫  e^(-x) * sen x   dx  =  -e^(-x) * sen(x) -e^(-x) * cos(x) 

2*∫  e^(-x) * sen x   dx  =  -e^(-x) (sen(x) + cos(x) ) 

∫  e^(-x) * sen x   dx  =  [-e^(-x) (sen(x) + cos(x) ) ]/2

_________________________________________________________

Resultado:

∫  e^|x|) * sen x   dx  = [ e^(x) *(sen(x) -cos(x)) ]/2 +  [-e^(-x) (sen(x) + cos(x) ) ]/2

Colocando os limites:
                                                                                            √3/2
{ [ e^(x) *(sen(x) -cos(x)) ]/2  +  [-e^(-x) (sen(x) + cos(x) ) ]/2 }
                                                                                             -π/4

.....isso tudo é = 0,1354