Question

Ache u tal que |u|=3√3 e u é ortogonal a v=(2,3,-1) e a w=(2,-4,6). Dos u encontrados,qual forma o ângulo agudo com o vetor (1,0,0).

Answer 1

Encontrar os vetores $\overset{\to}{\mathbf{u}}=(a,\,b,\,c)$ tais que

     •  $\overset{\to}{\mathbf{u}}$ é ortogonal a $\overset{\to}{\mathbf{v}}=(2,\,3,\,-1);$

     •  $\overset{\to}{\mathbf{u}}$ é ortogonal a $\overset{\to}{\mathbf{w}}=(2,\,-4,\,6);$

     •  $\|\overset{\to}{\mathbf{u}}\|=3\sqrt{3}.$


Dois vetores são ortogonais entre si somente se o produto escalar entre eles é igual a zero. Então, devemos ter

     $\overset{\to}{\mathbf{u}}\perp\overset{\to}{\mathbf{v}}\\\\ \overset{\to}{\mathbf{u}}\cdot\overset{\to}{\mathbf{v}}=0\\\\ (a,\,b,\,c)\cdot(2,\,3,\,-1)=0\\\\ 2a+3b-c=0\qquad\quad\mathsf{(i)}$


     $\overset{\to}{\mathbf{u}}\perp\overset{\to}{\mathbf{w}}\\\\ \overset{\to}{\mathbf{u}}\cdot\overset{\to}{\mathbf{w}}=0\\\\ (a,\,b,\,c)\cdot(2,\,-4,\,6)=0\\\\ 2a-4b+6c=0\qquad\quad\mathsf{(ii)}$


     $\|\overset{\to}{\mathbf{u}}\|=3\sqrt{3}\\\\ \|(a,\,b,\,c)\|=3\sqrt{3}\\\\ \|(a,\,b,\,c)\|^2=(3\sqrt{3})^2\\\\ a^2+b^2+c^2=(3\sqrt{3})^2\\\\ a^2+b^2+c^2=3^2\cdot 3\\\\ a^2+b^2+c^2=27\qquad\quad\mathsf{(iii)}$


Agora, temos que resolver o sistema formado pelas equações (i), (ii) e (iii):

     $\left\{\begin{array}{cccc} 2a+3b-c&\!\!=\!\!&0&\qquad\mathsf{(i)}\\\\ 2a-4b+6c&\!\!=\!\!&0&\qquad\mathsf{(ii)}\\\\ a^2+b^2+c^2&\!\!=\!\!&27&\qquad\mathsf{(iii)} \end{array}\right.$


Isole c na equação (i) e substitua nas equações (ii) e (iii):

     $c=2a+3b\\\\\\ 2a-4b+6c=0\\\\ 2a-4b+6\cdot (2a+3b)=0\\\\ 2a-4b+12a+18b=0\\\\ 14a+14b=0\\\\ 14\cdot (a+b)=0\\\\ a+b=0\qquad\mathsf{(iv)}$


     $a^2+b^2+c^2=27\\\\ a^2+b^2+(2a+3b)^2=27\qquad\mathsf{(v)}$


Agora, isole b na equação (iv) e substitua na equação (v):

     $a+b=0\\\\ b=-a\\\\\\ a^2+b^2+(2a+3b)^2=27\\\\ a^2+(-a)^2+\big[2a+3\cdot (-a)\big]^2=27\\\\ a^2+(-a)^2+\big[2a-3a\big]^2=27\\\\ a^2+(-a)^2+(-a)^2=27\\\\ a^2+a^2+a^2=27\\\\ 3a^2=27\\\\ a^2=\dfrac{27}{3}\\\\\\ a^2=9\\\\ a=\pm\,\sqrt{9}\\\\ a=\pm\,3$

     $a=-3\quad\mathsf{ou}\quad a=3$        ✔


     •  Para $a=-3,$ encontramos

        $b=-a\\\\ b=-(-3)$

        $b=3$        ✔


        $c=2a+3b\\\\ c=2\cdot (-3)+3\cdot 3\\\\ c=-6+9$

        $c=3$        ✔


Um vetor é $\overset{\to}{\mathbf{u}}\,\!_1=(-3,\,3,\,3).$


     •  Para $a=3,$ encontramos

        $b=-a$

        $b=-3$        ✔


        $c=2a+3b\\\\ c=2\cdot 3+3\cdot (-3)\\\\ c=6-9$

        $c=-3$        ✔


Outro vetor é $\overset{\to}{\mathbf{u}}\,\!_2=(3,\,-3,\,-3).$

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Encontrar qual dos vetores encontrados forma um ângulo agudo com o vetor $\overset{\to}{\mathbf{i}}=(1,\,0,\,0).$

Por definição de produto escalar, temos que

     $\overset{\to}{\mathbf{u}}\cdot \overset{\to}{\mathbf{i}}=\|\overset{\to}{\mathbf{u}}\|\cdot \|\overset{\to}{\mathbf{i}}\|\cdot \cos\theta$


Como 0 ≤ θ ≤ π, o ângulo θ será agudo somente se 0 < cos θ < 1, isto é, cos θ deve ser positivo. Observe que o sinal do produto escalar é sempre o mesmo sinal de cos θ. Logo, vetor procurado é aquele cujo produto escalar com o vetor $\overset{\to}{\mathbf{i}}=(1,\,0,\,0)$ é positivo:

     $\overset{\to}{\mathbf{u}}\,\!_1\cdot \overset{\to}{\mathbf{i}}=(-3,\,3,\,3)\cdot (1,\,0,\,0)\\\\ \overset{\to}{\mathbf{u}}\,\!_1\cdot \overset{\to}{\mathbf{i}}=(-3)\cdot 1+3\cdot 0+3\cdot 0\\\\ \overset{\to}{\mathbf{u}}\,\!_1\cdot \overset{\to}{\mathbf{i}}=-3+0+0$

     $\overset{\to}{\mathbf{u}}\,\!_1\cdot \overset{\to}{\mathbf{i}}=-3<0$        ✖


     $\overset{\to}{\mathbf{u}}\,\!_2\cdot \overset{\to}{\mathbf{i}}=(3,\,-3,\,-3)\cdot (1,\,0,\,0)\\\\ \overset{\to}{\mathbf{u}}\,\!_2\cdot \overset{\to}{\mathbf{i}}=3\cdot 1+(-3)\cdot 0+(-3)\cdot 0\\\\ \overset{\to}{\mathbf{u}}\,\!_2\cdot \overset{\to}{\mathbf{i}}=3+0+0$

     $\overset{\to}{\mathbf{u}}\,\!_2\cdot \overset{\to}{\mathbf{i}}=3>0$        ✔


O vetor que forma um ângulo agudo com $\overset{\to}{\mathbf{i}}=(1,\,0,\,0)$ é o vetor $\overset{\to}{\mathbf{u}}\,\!_2=(3,\,-3,\,-3).$


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