Question

Um cone de raio igual a 15 cm e altura igual a 20 cm está completamente cheio de água. Uma esfera de raio igual a 7 cm é colocada no interior do cone fazendo com que parte da água transborde. Responda as perguntas abaixo:

1. A esfera fica submersa ou parte dela fica fora d'água?

2. Se a esfera ficar submersa qual o volume de água que transbordou?

Obs:. O cone está com o vértice apoiado numa superfície plana.

Answer 1

Boa tarde

Vamos supor uma esfera de raio r que fique ao nível da base do cone.

Ver figura no anexo.

No triângulo OPV temos :

OV² = OP²+PV² ⇒ PV² = OV² - OP²  ou  PV² = (20-r)² - r²

Triângulo MNV é semelhante a triângulo OPV.

$\dfrac{MN}{MV} = \dfrac{OP}{VP} \Rightarrow \dfrac{15}{20} = \dfrac{r}{PV} \\ \\ \\ PV= \dfrac{20*r}{15} \Rightarrow PV= \dfrac{4*r}{3} \Rightarrow PV^{2} = \dfrac{16 r^{2} }{9}$

Igualando as expressões de  PV² temos 

$\dfrac{16 r^{2} }{9} = (20-r)^{2} - r^{2} \Rightarrow 16 r^{2} = 9 [ (20-r)^{2} - r^{2} ]\\ \\ \\ 16 r^{2}= 9 [ 400-40r+ r^{2} - r^{2} ] \\ \\ \\ 16 r^{2} =3600-360r \Rightarrow 16 r^{2} +360r-3600=0 \\ \\ \\ 2 r^{2}+45r-450=0$

Resolvendo a equação obtemos as raízes 7,5  e  -30 ( não serve )

Toda esfera com raio menor que 7,5 fica totalmente submersa .

Resposta da questão 1 ; A esfera de raio 5 fica submersa .

O volume de água que transborda é igual ao volume da esfera que é dado

por :

$V= \dfrac{4}{3}* \pi * r^{3} \Rightarrow V= \dfrac{4}{3}* \pi * 5^{3} \\ \\ \\ V= \dfrac{500 \pi }{3} cm^{3}$