Question

Em uma progressão aritmética crescente de 3 termos, a soma dos termos é 6 e o produto, -42. Determine essa sequência.

Answer 1

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

três termos de uma P.A.(x-r, x, x+r)

a soma é 6 .:. (x-r)+(x)+(x+r)=6 .:. 3x=6 .:. x=6/3 .:. x=2, agora vamos substituir x:
o produto é -42 .:. (x-r)*x*(x+r)= -42
                        (2-r)*2*(2+r) = -42
                         (4-2r) * (2+r) = -42
                          8+4r-4r-2r² = -42
                             -2r² = -42-8
                               -2r² = -50
                               r² = -50/ -2
                                  r² = 25
                        $r= \sqrt{25}$
                                              
                       $r= \frac{+}{}5$

Como trata-se de uma P.A. crescente, não utilizaremos -5:

 x-r,    x     x+r
 2-5,   2     2+5
  -3,    2,    7


Resposta:  A sequência é (-3, 2, 7)
 

Answer 2

Supondo que a razão desta PA seja R:
Podemos escrever os termos da seguinte maneira:

x-R        x      X+R

Adicionando os 3 termos:   x-R+x+x+R=6
Veja que a equação acima se resume a 3x=6 logo x=2

Já sabemos o termo central

agora vamos chamar os termos por A, 2 e C

Do enunciado temos:   A+2+C=6 logo  A+C=4
e que                            2.A.C=-42  logo  AC=-21

Da primeira destas equações>   A=4-C

Substituindo na segunda:   (4-C).C=-21
Obteremos a seguinte equação quadrática:

$4C-C^2=-21 \\ C^2-4C-21=0$

Esta equação tem duas soluções: -3 e 7

Se a PA é crescente então -3 está descartada, porque o termo central é 2
Então já sabemos que a PA é assim (A,2,7)
Dá para calcular a razão que é 5 e o primeiro temo que é 2-5=-3

Finalmente obtemos a PA completa: (-3, 2, 7)