Question

Determine se a serie geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma. ∑_(n=1)^∞(3)^(n-1)/4^n

Answer 1

Temos o seguinte:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\dfrac{3^{n-1}}{4^n}}$
Sabe-se que é uma série geométrica, sendo assim, possui uma razão:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} {\dfrac{3^{n-1}}{4^n}} = \dfrac{3^{0}}{4^1} + \dfrac{3^{1}}{4^2} + \dfrac{3^{2}}{4^3} + \dots = \dfrac{1}{4} +\dfrac{3}{16} + \dfrac{9}{64} + \cdots$
Nota-se que temos uma razão $q = \frac{3}{4}$, como $|q| \ \textless \ 1$, temos uma série convergente, logo sua soma ($S$) será:
$S = \dfrac{a_{1}}{1-q} = \dfrac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \dfrac{1}{4} \cdot 4 = 1$