Question

qual é o polígono cujo número de lados é igual a quarta parte do número de diagonais?

Answer 1

n = lados 
Formula do numero de diagonais 
n(n-3)/2 

n = 1(n(n-3)/2/4 
4.n = 1(n² - 3n)/2 
4n = n² - 3n / 2 
2.4n = n² - 3n 
8n = n² - 3n 
8n + 3n - n² = 0 
-n² + 11n = 0 
-n.n + 11.n = 0 
n(-n + 11) = 0 

n' = 0 

-n + 11 = 0 
-n = - 11.(-1) 
n" = 11 

Poligono de 11 lados = Undecágono

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Laisoliveira, que a resolução é simples. 
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. 

i) Pede-se para informar qual é o polígono cujo número de lados é igual à quarta parte do número de diagonais. 

ii) Antes veja que o número de diagonais (d) de um polígono é dado por:

d = n*(n-3)/2 , em que "d' é o número de diagonais e "n" é o número de lados do polígono. E a 4ª parte desse número de diagonais será dado quando dividirmos o que temos aí em cima por "4". Logo:

d/4 = [n*(n-3)2]/4 --- ou apenas: 
d/4 = n*(n-3)/2*4
d/4 = n*(n-3)/8 <--- Esta é expressão que dá a 4ª parte do número de diagonais de um polígono.


iii) Então, tendo a relação acima como parâmetro, vamos encontrar a lei de formação da sua questão proposta, que é: qual é o polígono cuja 4ª parte do número de diagonais (d) é igual ao número de lados. Assim, a lei de formação será esta:

d/4 = n  ------ mas como d/4 = n*(n-3)/8, então vamos substituir, ficando:

n*(n-3)/8 = n ---- efetuando o produto indicado no 1º membro, temos:

(n²-3n)/8= n ----- multiplicando-se em cruz, teremos: 
n² - 3n = 8*n ---- ou apenas:
n² - 3n = 8n ----- passando "8n" para o 1º membro, temos:

n² - 3n - 8n = 0 ------- como "-3n-8n = -11n", teremos:
n² - 11n = 0  ------ agora vamos pôr "n" em evidência, ficando:
n*(n - 11) = 0 ---- Note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou 
n = 0 ---> n' = 0 
ou 
n-11 = 0 ---> n'' = 11. 

Como um polígono não pode ter zero lados, então ficaremos com a outra raiz que é esta:

n = 11 lados <--- Esta é a resposta. O polígono da sua questão tem 11 lados. É um undecágono.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.