Question

Uma PA crescente é composta de sete termos. Determine esses termos sabendo que o produto dos extremos é igual a 324 e que a soma dos outros cinco termos é igual a 150

Answer 1

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

O problema nos diz que o produto dos extremos é 324 .:. a1+a7=324
nos diz também que a soma dos outros cinco termos é 150 .:. 

.:. a2+a3+a4+a5+a6=150.

escrevendo os termos, temos:

a1(a1+6r)=324
(a1+r)+(a1+2r)+(a1+3r)+(a1+4r)+(a1+5r)=150

Montamos assim, um sistema do 2° grau com duas equações, nas variáveis a1 e r:

.:. $a1 ^{2}+6a1r=324$          .:.          $a1 ^{2}+6a1r=324$ I

    $15a1+15r=150$   divide por 5 .:.    $a1+3r=30$  II
 
 isolando a1, na equação II, temos: a1=30-3r

Agora vamos substituir na equação I:

(30-3r)²+6r(30-3r=324 .:. 900-90r-90r+9r²+180r-18r²=324

reduzindo os termos semelhantes, temos:

.:. 900-180r+9r²+180r-18r²=324 .:. 900-9r²=324 .:. 900-9r²-324=0

.:. -9r²+576 multiplica a equação por (-1) e divide por 9, temos:

.:. 9r²-576=0 .:. r²-64=0 .:. r²=64 .:. $r= \sqrt{64}$ .:. $r= \frac{+}{}8$

A razão -8, não serve, pois a P.A. é crescente.

Substituindo a razão na equação II, temos:

a1+3r=30 .:. a1+3*8=30 .:. a1+24=30 .:. a1=30-24 .:. a1=6

Formando a P.A., vem:

a2=a1+r   .:. a2=6+8         .:.             a2=14
a3=a1+2r .:. a3=6+2*8 .:. a3=6+16 .:. a3=22 
a4=a1+3r .:. a4=6+3*8 .:. a4=6+24 .:. a4=30
a5=a1+4r .:. a5=6+4*8 .:. a5=6+32 .:. a4=38
a6=a1+5r .:. a6=6+5*8 .:. a6=6+40 .:. a5=46
a7=a1+6r .:. a7=6+6*8 .:. a7=6+48 .:. a7=54


Resposta: A Progressão Aritmética é (6, 14, 22, 30, 38, 46, 54)