Question

(Ibmec) Se x reais forem investidos em determinada aplicação,? então o rendimento gerado por essa aplicação e o imposto que irá incidir sobre esse rendimento serão ambos iguais a x%. O maior valor de x para o qual essa aplicação não gera prejuízo é: a) R$ 50,00 b) R$ 83,33 c) R$ 100,00 d) R$ 125,80 e) R$ 161,80

Answer 1

     Capital aplicado:  C = x

     Taxa de rentabilização da aplicação:  i = x% = x/100

     Taxa de imposto:  imp = x% = x/100


O imposto incide apenas sobre o rendimento, ou seja, sobre os juros da aplicação.

Rentabilidade bruta (sem o imposto):

     $\mathsf{J_B=C\cdot i}\\\\ \mathsf{J_B=x\cdot \dfrac{x}{100}}\\\\\\ \mathsf{J_B=\dfrac{x^2}{100}}$


Rentabilidade líquida (isto é, descontado o imposto):

      $\mathsf{J_L=J_B\cdot (1-imp)}\\\\ \mathsf{J_L=\dfrac{x^2}{100}\cdot \left(1-\dfrac{x}{100}\right)}$


Para que não ocorra prejuízo, a rentabilidade líquida não pode ser negativa, ou seja:

     $\mathsf{J_L\ge 0}\\\\\mathsf{\dfrac{x^2}{100}\cdot \left(1-\dfrac{x}{100}\right)\ge 0}$


Acima temos uma inequação produto. O fator x²/100 nunca é negativo. Logo, para que o produto seja maior ou igual que zero, devemos ter

     $\mathsf{1-\dfrac{x}{100}\ge 0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x}{100}\le 1}$

     $\mathsf{x\le 100}$        ✔


O maior valor para x de modo que a aplicação não gere prejuízo é R$ 100,00.


Resposta:  alternativa  c) R$ 100,00.


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Bons estudos! :-)