Question

Preciso urgentemente de ajuda em Derivadas, quais são os resultados das questões? (Demonstre o cálculo)

Answer 1

1) f(x)= eˣ.senx, aqui temos que aplicar a regra do produto

seja f(x)= g(x).h(x) então:

f '(x)=  g'(x)h(x) + g(x)h'(x), ou seja derivada da 1ª vezes a 2ª + a1ª vezes a derivada da 2ª, vejamos como fica o exercício
f(x) = eˣ.sen(x)
f '(x) = eˣ.sen(x) + eˣ.cos(x)

2) f(x) = x² + cos(x), aqui derivamos cada parte da soma separadamente, vejamos:

f(x) x² + cos(x)

Obs: f(x)=x²    => f '(x) = 2.x²⁻¹ = 2x, ou seja, derivar uma potencia, deslocamos o expoente para a frente da base multiplicando e subtraimos 1 do antigo expoente ficando com um novo expoente, outro exemplo f(x)=x³ => f '(x)= 3x³⁻¹ = 3x²

f '(x) = 2x + (- sen(x)) = 2x - sen(x)

3) f(x) = 2x³ + √x, aqui mais uma vez faremos a derivação de cada termo separadamente, lembra que √a = a¹/², ou seja, regra da radiciação, uma raiz pode ser transformada em um potencia, onde a base é o radicando e o expoente é uma fração, composta pelo expoente do radicando sobre o índice do radical, vejamos:

f(x) = 2x³ + √x

$f'(x) = 3.2x^{3-1} + \frac{1}{2} x^{1/2-1} = 6x^2 + \frac{1}{2} x^{-1/2} =6x^2 + \frac{1}{2} \frac{1}{ x^{1/2} } = 6x^2 + \frac{1}{2 \sqrt{x} }$

racionalizando o segundo membro fica:


$\frac{1}{2 \sqrt{x} } * \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x} } = \frac{ \sqrt{x} }{2( \sqrt{x})^2 } = \frac{ \sqrt{x} }{2x} \\ \\ \\ f'(x) = 6x^2 + \frac{ \sqrt{x} }{2x}$


4) f(x) = x + 2 / x², aqui vamos aplicar a regra do quociente, seja
f(x) = g(x)/h(x) então f '(x) = (g'(x).h(x) - g(x).h'(x)) / (h(x))²
derivada da 1ª vezes a 2ª menos a 1ªvezes a derivada da 2ª dividido pela 2ª ao quadrado, vejamos:

$f'(x) = \frac{(1.x^{1-1}+0).x^2 - (x+2).2x }{(x^2)^2} = \frac{1.x^2 - (2x^2+4x)}{ x^{4} } = \frac{x^2-2x^2-4x}{x^4} = \frac{-x^2-4x}{x^4}= \\ \\ \frac{x(-x-4)}{x^4}= \frac{-x-4}{x^3}$

5) f(x) = sen(x) / cos(x), mais uma vez aplicamos a regra do quociente, lembrando que derivada de sen(x) = cos(x) e derivada de cos(x) = - sen(x), vejamos

$f'(x) = \frac{cos(x)cos(x) - (sen(x).(-sen(x)}{cos^2(x)} = \frac{cos^2(x)-(-sen^2(x))}{cos^2(x)} = \\ \\ \frac{cos^2(x) + sen^2(x)}{cos^2(x)} = \frac{cos^2(x)}{cos^2(x)} + \frac{sen^2(x)}{cos^2(x)} = \\ \\ 1 + tg^2(x) = sec^2(x)$