Question

Quantos são os anagramas da palavra SAUDE, em que nenhuma das letras ocupe a posição ocupada inicialmente na palavra?

Answer 1

Esta é uma excelente questão. O nome para este tipo de situação é permutação caótica, ou desarranjo. Euler propôs este tipo de situação inicialmente, trabalhando num exemplo com cartas em sua cidade.

Para determinar o total de anagramas que isto acontece, utilizamos a fórmula:

$D=n!.(1- \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}- \frac{1}{3!}+...+ \frac{1}{n!} )$, sempre variando o sinal.

Como temos 5 letras na palavra SAUDE, segue que

$D=5!(1- \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}- \frac{1}{3!}+ \frac{1}{4!}- \frac{1}{5!} )$
$D=120.(1-1+ \frac{1}{2}- \frac{1}{6}+ \frac{1}{24}- \frac{1}{120})=120.( \frac{60-20+5-1}{120} )=120.( \frac{44}{120})$

D = 44

Logo, temos 44 anagramas com as letras não em sua posição original.

Answer 2

Use a permutação caótica

número de anagramas em que nenhyma letra ocupe a posição ocupada inicialmente:
  n!.[1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - ...+(-1)^n.1/n!]

Saúde ==> S A U D E são 5 letras

 5!.(1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5!)

5!.(1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/5!)

 5!.(9/24 - 1/5!)

5.4!.9/4! - 5!/5!

 5.9 - 1

= 44  anagramas