Question

Dados os complexos z1 = ($\frac{1}{2}$, 3) e z2 = (2,-5), determine:

a) $z_{2}$ ²

b) Z1 . Z2

Answer 1

Um número complexo escrito na forma de coordenadas cartesianas

$z=\left(a,\,b \right )$

onde $a,\,b \in \mathbb{R}$


equivale a escrever

$z=a+bi$

onde $i=\sqrt{-1}$ é a unidade imaginária.


Então

$z_{1}=\dfrac{1}{2}+3i,\;\;\;z_{2}=2-5i$


a) $z_{2}^{2}$

$z_{2}^{2}=\left(2-5i \right )^{2}\\ \\ z_{2}^{2}=2^{2}-2\cdot 2 \cdot 5i+\left(5i \right )^{2}\\ \\ z_{2}^{2}=4-20i+25i^{2}\\ \\ z_{2}^{2}=4-20i+25\cdot \left(-1 \right )\\ \\ z_{2}^{2}=4-20i-25\\ \\ z_{2}^{2}=4-25-20i\\ \\ z_{2}^{2}=-21-20i\\ \\ \boxed{z_{2}^{2}=\left(-21,\,-20 \right )}$


b) $z_{1}\cdot z_{2}$

$z_{1}\cdot z_{2}=\left(\dfrac{1}{2}+3i \right )\cdot \left(2-5i \right )\\ \\ z_{1}\cdot z_{2}=\dfrac{1}{2}\cdot 2+\dfrac{1}{2}\cdot \left(-5i \right )+3i\cdot 2+3i\cdot \left(-5i \right )\\ \\ z_{1}\cdot z_{2}=1-\dfrac{5i}{2}+6i-15i^{2}\\ \\ z_{1}\cdot z_{2}=1+\left(-\dfrac{5}{2}+6 \right )i-15\cdot \left(-1 \right)\\ \\ z_{1}\cdot z_{2}=1+\left(\dfrac{-5+12}{2} \right )i+15\\ \\ z_{1}\cdot z_{2}=1+15+\dfrac{7i}{2}\\ \\ z_{1}\cdot z_{2}=16+\dfrac{7i}{2}\\ \\ \boxed{z_{1}\cdot z_{2}=\left(16,\,\dfrac{7}{2} \right )}$