Question

uma seccao meridiana de um cone equilatero tem 4 raiz de 3 cm quadrados de Area. cal cule a area lateral, area total e volume desse cone.

Answer 1

Sendo

$r$ o raio da base do cone

$h$ a altura do cone

$g$ a geratriz do cone


temos

$g^{2}=r^{2}+h^{2}$


Em um cone equilátero, temos

$g=2r$

então

$g^{2}=r^{2}+h^{2}\\ \\ \left(2r \right )^{2}=r^{2}+h^{2}\\ \\ h^{2}=4r^{2}-r^{2}\\ \\ h^{2}=3r^{2}\\ \\ h=r\sqrt{3}$


A seção meridiana de um cone equilátero é um triângulo equilátero de base $2r$ e altura $h=r\sqrt{3}$. A área desta seção é

$A_{\text{s}}=\dfrac{\left(2r \right )\cdot h}{2}\\ \\ A_{\text{s}}=\dfrac{2r\cdot r\sqrt{3}}{2}\\ \\ A_{\text{s}}=r^{2}\sqrt{3}$


No cone em questão, temos

$A_{\text{s}}=4\sqrt{3}\\ \\ r^{2}\sqrt{3}=4\sqrt{3}\\ \\ r^{2}=4\\ \\ r=2\text{ cm}$


(1) Calcular a área lateral:

A área lateral é a área de um setor circular de raio $g=2r$, cujo comprimento é igual ao comprimento da base do cone: $C=2\pi r$.

Então, vamos achar o ângulo $\alpha$ de abertura desta seção:


$C=\alpha g\\ \\ 2\pi r=\alpha \cdot 2r\\ \\ \alpha = \pi$


A área lateral é a área do setor, que é dada por

$A_{\ell}=\dfrac{\alpha g^{2}}{2}\\ \\ A_{\ell}=\dfrac{\alpha \cdot \left(2r \right )^{2}}{2}\\ \\ A_{\ell}=\dfrac{\alpha \cdot 4r^{2}}{2}\\ \\ A_{\ell}=\dfrac{\pi \cdot 4\cdot 2^{2}}{2}\\ \\ A_{\ell}=\dfrac{16\pi}{2}\\ \\ A_{\ell}=8 \pi \text{ cm}^{2}$


(2) Calcular a área total:

A área da base deste cone é

$A_{b}=\pi r^{2}\\ \\ A_{b}=\pi \cdot 2^{2}\\ \\ A_{b}=4\pi \text{ cm}^{2}$


A área total é a soma da área da base com a área lateral, que é

$A_{t}=A_{b}+A_{\ell}\\ \\ A_{t}=4\pi + 8\pi\\ \\ A_{t}=12\pi \text{ cm}^{2}$


(3) Calcular o volume do cone:

O volume do cone é dado por

$V=\dfrac{A_{b}\cdot h}{3}\\ \\ V=\dfrac{A_{b}\cdot r\sqrt{3}}{3}\\ \\ V=\dfrac{4\pi \cdot 2\sqrt{3}}{3}\\ \\ V=\dfrac{8\pi\sqrt{3}}{3}\text{ cm}^{3}$

Answer 2

A área lateral, a área total e o volume desse cone são, respectivamente: 8π cm², 12π cm² e 8π√3/3 cm³.

Um cone é equilátero quando a medida da geratriz é igual ao dobro da medida do raio.

A secção meridiana do cone equilátero é um triângulo equilátero de lado 2r, como mostra a figura abaixo.

De acordo com o enunciado, a área dessa secção é igual a 4√3.

A área de um triângulo equilátero de lado l é igual a $\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$.

Logo:

4√3 = (2r)²√3/4

4.4 = 4r²

r² = 4

r = 2 cm.

A área lateral do cone é igual a Al = πrg, sendo g a geratriz. Portanto:

Al = π.2.2.2

Al = 8π cm².

A área total do cone é igual à soma da área lateral com a área da base. Logo:

At = 8π + π.2²

At = 8π + 4π

At = 12π cm².

O volume do cone é igual a um terço do produto da área da base pela altura.

Para calcular a altura, vamos utilizar a relação g² = h² + r². Assim:

(2.2)² = h² + 2²

16 = h² + 4

h² = 12

h = 2√3 cm.

Portanto:

V = 1/3.4π.2√3

V = 8π√3/3 cm³.

Para mais informações sobre cone: https://brainly.com.br/tarefa/19758574