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Primeiro prove que vale para n=1:
2n=n²+n
2.1=1²+1 De fato. É uma igualdade. Então vale para n=1. Vamos ao segundo passo...
Se a propriedade "2.1+2.2+2.3+...+2.n=n²+n" vale para n=k. Deve valer para n=k+1. Logo: (I) 2.1+2.2+2.3+...+2k +2(k+1)=(k+1)²+(k+1)
Vejamos se a igualdade acima é verdadeira:
Sabemos que 2.1+2.2+2.3+...+2k=k²+k logo podemos substituir na equação (I). Fica assim:
k²+k+2(k+1)=(k+1)²+(k+1)
k²+k+2k+2=k²+2k+1²+(k+1)
k²+3k+2=k²+3k+2 equação é verdadeira para "k+1". Isso significa que a propriedade é valida para n=k, n=k+1 e para qualquer n maior ou igual a 1.
2n=n²+n
2.1=1²+1 De fato. É uma igualdade. Então vale para n=1. Vamos ao segundo passo...
Se a propriedade "2.1+2.2+2.3+...+2.n=n²+n" vale para n=k. Deve valer para n=k+1. Logo: (I) 2.1+2.2+2.3+...+2k +2(k+1)=(k+1)²+(k+1)
Vejamos se a igualdade acima é verdadeira:
Sabemos que 2.1+2.2+2.3+...+2k=k²+k logo podemos substituir na equação (I). Fica assim:
k²+k+2(k+1)=(k+1)²+(k+1)
k²+k+2k+2=k²+2k+1²+(k+1)
k²+3k+2=k²+3k+2 equação é verdadeira para "k+1". Isso significa que a propriedade é valida para n=k, n=k+1 e para qualquer n maior ou igual a 1.
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