Question

UECE/CE-2017.1 - Considere a circunferência com centro no ponto O e cuja medida do raio é 2m. Se AB é um diâmetro desta circunferência e C é um ponto sobre a circunferência tal que a medida do ângulo CÔB é 60°, então, a medida da área da região interior à circunferência, limitada pela corda AC e pelo menor arco determinado por A e C, é?

Answer 1

As alternativas são:

a) $\frac{4\pi}{6}-\sqrt{3}$
b) $\frac{4\pi}{6}+\sqrt{3}$
c) $\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}$
d) $\frac{4\pi}{3}+\sqrt{3}$

A área procurada é a área em vermelho da figura abaixo.

Como o ângulo CÔB mede 60°, então o ângulo AÔC mede 120°.

Perceba que a área procurada será igual a área do setor de 120° menos a área do triângulo isósceles ΔAOC.

A área de um setor é calculada pela fórmula:

$A_s= \frac{\pi r^2 \alpha}{360}$

Como r = 2 e α = 120°, então:

$A_s=\frac{\pi . 2^2 . 120}{360} = \frac{4 \pi}{3}$

A área do triângulo ΔAOC pode ser calculada pela fórmula:

$A_t= \frac{AO.OC.sen(\alpha)}{2}$

Como AO = OC = 2, então:

$A_t = \frac{2.2.sen(120)}{2} = \sqrt{3}$

Portanto, a área procurada é igual a:

$A_p = \frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}$

Alternativa correta: letra c)