Question

Helena tem três caixas com 10 bolas em cada uma. As bolas dentro de uma mesma moeda caixa são idênticas, e as bolas em caixas diferentes possuem cores distintas. De quantas modos ela pode escolher 15 bolas dessas três caixas?

Answer 1

Vamos considerar que:

x = quantidade de bolas da primeira caixa.
y =  quantidade de bolas da segunda caixa.
z = quantidade de bolas da terceira caixa.

Daí, queremos saber quantas são as soluções possíveis para a conta x + y + z = 15.

Para sabermos a quantidade de soluções de uma equação, utilizamos a fórmula:

$Y= \frac{(n+b-1)!}{b!(n-1)!}$

sendo b = resultado da soma e n = quantidade de incógnitas.

Como a soma é x + y + z = 15, então b = 15 e n = 3.

Logo,

$Y= \frac{(3+15-1)!}{15!(3-1)!} = \frac{17!}{15!2!} = 136$

ou seja, existem 136 resultados possíveis para x + y + z  = 15.

Porém, cada caixa contém apenas 10 bolas.

Então, devemos retirar as seguintes somas:

15 + 0 + 0, 13 + 1 + 1, 11 + 2 + 2 (permutando teremos 3 somas de cada um) 
14 + 1 + 0, 13 + 2 + 0, 12 + 2 + 1, 12 + 3 + 0, 11 + 4 + 0, 11 + 3 + 1 (permutando teremos 6 somas de cada um)

Portanto, Helena pode escolher as 15 bolas de 136 - (3.3 + 6.6) = 136 - 45 = 91 maneiras.