Question

um estacionamento tem 10vagas, uma do lado da outra inicialmente todas livres. um carro preto e um carro rosa chegam a esse estacionamento, de quantas maneiras diferentes esses carros podem ocupar duas vagas, de forma que haja duas vagas livre entre eles?

Answer 1

Vamos representar as vagas por letras do alfabeto.

     P = vaga ocupada pelo carro preto

     R = vaga ocupada pelo carro rosa

     X = vaga livre.


Primeiramente, vamos calcular o número total de maneiras que esse dois carros podem ocupar duas vagas, sem restrições:

     $\mathsf{P~R~X~X~X~X~X~X~X~X}$


Essa quantidade é o número de anagramas da palavra acima (permutações de 10 elementos, com repetições de 8):

     $\mathsf{n_1=P_{10}^8}\\\\ \mathsf{n_1=\dfrac{10!}{8!}}\\\\\\ \mathsf{n_1=\dfrac{10\cdot 9\cdot \diagup\!\!\!\! 8!}{\diagup\!\!\!\! 8!}}\\\\\\ \mathsf{n_1=90}$


Agora vamos calcular de quantas formas os dois carros ocupam as vagas de modo que eles estejam em vagas vizinhas.

Podemos pensar em "PR" como se fosse uma única letra da palavra:

     $\mathsf{"PR"~X~X~X~X~X~X~X~X}$


Agora temos uma palavra com 9 letras, sendo 8 repetidas. Devemos considerar também a quantidade de anagramas de "PR", pois os carros vizinhos podem aparecer em qualquer ordem:

     $\mathsf{n_2=P_9^8\cdot P_2}\\\\ \mathsf{n_2=\dfrac{9!}{8!}\cdot 2!}\\\\\\ \mathsf{n_2=\dfrac{9\cdot 8!}{8!}\cdot 2}\\\\\\ \mathsf{n_2=18}$


Como queremos saber de quantas maneiras diferentes os carros ocupam duas vagas, de modo que haja pelo menos alguma livre entre elas, basta tomarmos o total e subtrair pela quantidade de maneiras nas quais os carros ocupam vagas vizinhas:

     $\mathsf{n=n_1-n_2}\\\\ \mathsf{n=P_{10}^8-P_9^8\cdot P_2}\\\\ \mathsf{n=90-18}$

     $\mathsf{n=72\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$


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Bons estudos! :-)