Question

Determine a equação da hipérbole que tem como assintotas, as retas 2x+y=0 e 2x-y-1=0 eixo horizontal e passa pelo ponto (4, 6).

Answer 1

Olá!

Do enunciado temos que a hipérbole que passa pelo ponto (4, 6), ou seja, pode-se considerar que ela tem o eixo focal paralelo ao eixo X; assim é da forma:

$\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$

onde h e k são as coordenadas do centro, "a" o semi-eixo real, "b" o semi-eixo imaginário


Também temos que suas assintotas,  são as retas $2x + y - 3 =0$ e 
$2x-y-1=0$ e elas se se cruzam no punto (1, 1).

Assim a hiperbola é :

$\frac{(x - 1)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - 1)^{2}}{b^{2}} = 1$

Como as assintotas, são da forma: 

$y - k = \pm ((\frac{b}{a} )* (x - h))$

Resolvendo as equações das retas temos:

$2x + y - 3 = 0 2x + y - 1 - 2 = 0 y - 1 = -2x - 2 y - 1= -2(x - 1) 2x - y - 1 = 0 2x + y + 1 = 0 y - 1 = 2x - 2 y - 1= 2(x - 1)$


Como 

$\frac{b}{a} = 2$

$b = 2a$


Assim a hipérbole fica:

$\frac{(x - 1)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - 1)^{2}}{(2a)^{2}} = 1$

$\frac{(x - 1)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - 1)^{2}}{4a^{2}} = 1$


Então,agora  nessa equação temos que substituir o punto dado (4,6)


$\frac{(4 - 1)^{2}}{a^{2}} - \frac{(6 - 1)^{2}}{4a^{2}} = 1$

$\frac{(3)^{2}}{a^{2}} - \frac{(5)^{2}}{4a^{2}} = 1$

$\frac{(9)}{a^{2}} - \frac{(25)}{4a^{2}} = 1$

Multiplicamos o primer termo por $\frac{4}{4}$

$\frac{(36)}{4a^{2}} - \frac{(25)}{4a^{2}} = 1$

$36 - 25 = 4a^{2}$

$11 = 4a^{2}$

$a^{2} = \frac{11}{4}$

$a = \frac{ \sqrt{11} }{4}$


$b = \sqrt{11}$

Assim substituindo na equação temos que:

$\frac{(x - 1)^{2}}{ \frac{11}{4} } - \frac{(y - 1)^{2}}{11} = 1$


Simplificando a equação  da hipérbole  fica:

$4 x^{2} - y^{2} - 8x + 2y - 8 = 0$


P.D: Como a assíntota 2x+y=0 estava faltando um numero eu agregei um (2x + y - 3 ), para assim  resolver a questão. Só tem que colocar o numero correto de seu exercicio e pronto.!