Question

determine a equação vetorial da reta r que passa pelos pontos a(3,0,-5) e b(7,4,-7)

Answer 1

Para determinar a equação vetorial para a reta, precisamos de um ponto da reta e um vetor diretor.

Como a reta r passa pelos pontos A(3, 0, −5) e B(7, 4, −7), então um vetor diretor para r é o próprio vetor $\mathsf{\overset{\longrightarrow}{AB}:}$

     $\mathsf{\overset{\to}{v}=\overset{\longrightarrow}{AB}}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{v}=B-A}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{v}=(7,\,4,\,-7)-(3,\,0,\,-5)}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{v}=(7-3,\,4-0,\,-7-(-5))}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{v}=(7-3,\,4-0,\,-7+5)}\\\\ \mathsf{\overset{\to}{v}=(4,\,4,\,-2)}$


Logo, uma equação vetorial para a reta r é

     $\mathsf{r:~X=A+\lambda\overset{\to}{v}}$

     $\mathsf{r:~(x,\,y,\,z)=(3,\,0,\,-5)+\lambda(4,\,4,\,-2),\qquad com~\lambda\in\mathbb{R}.}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)

Answer 2

✅ Depois de ter resolvido todos os cálculos, concluímos que a equação vetorial da reta "r" é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf (x, y, z) = (3, 0, -5) + \lambda(4, 4, -2)\:\:\:}} \end{gathered} }$

Se nos foi dado os seguintes pontos:

                       $\Large\begin{cases}A(3, 0, -5)\\B(7, 4, -7) \end{cases}$

Sabendo que para encontrar uma equação vetorial da reta devemos ter um ponto pertencente à reta e um vetor que tenha a mesma direção da reta, ou seja, um vetor paralelo à reta. Este vetor chama-se vetor diretor.

Como o problema só nos dá dois pontos, então devemos:

• Encontrar o vetor diretor do segmento AB, ou seja:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{v} = \vec{AB} \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= B - A \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (7, 4, -7) - (3, 0, -5) \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (7 - 3, 4 - 0, -7 - (-5)) \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (4, 4, -2) \end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\vec{v} = (4, 4, -2) \end{gathered}$

• Montar a equação vetorial da reta:

      Para isso poderemos utilizar a seguinte estratégia:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{AP} = \lambda\vec{v} \end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}P - A = \lambda\vec{v} \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}P = A + \lambda\vec{v} \end{gathered}$

       Se "P" é um ponto genérico da reta, isto é:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}P(x, y, z) \end{gathered}$

       Então, temos:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}P = A + \lambda\vec{v},\:\:\:com\:\lambda\in\mathbb{R} \end{gathered}$

✅ Portanto, a equação vetorial da reta "r" é:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}r: (x, y, z) = (3, 0, -5) + \lambda(4, 4, -2) \end{gathered}$

Saiba mais:

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