Question

Calculando por integral dupla a área entre as curvas y = x e y = 2x, com x variando de 1 a 2, obtemos:

Answer 1

Perceba que ao esboçar as curvas dadas no enunciado, y = 2x é maior que y = x entre x = 1 e x = 2.

Então, podemos definir que os intervalos de x e y são:

{1 ≤ x ≤ 2
{x ≤ y ≤ 2x

Como o x está entre valores e o y está entre curvas, utilizaremos dydx.

Daí, utilizando a integral dupla para calcular a área entre as curvas y = x e y = 2x, obtemos:

$A = \int\limits^2_1 \int\limits^{2x}_x \, dydx$
$A = \int\limits^2_1 {2x - x} \, dx$ 
$A = \int\limits^2_1 {x} \, dx$
$A = \frac{x^2}{2}$

Substituindo os limites de integração:

$A = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2}$
$A = \frac{4}{2} - \frac{1}{2}$

Portanto, a área pedida é igual a:

$A = \frac{3}{2} ua$