Question

Calcule a derivada direcional da função f(x,y) = x² + 2xy - y² no ponto (2,1), na direção tangente a curva x² + y² = 2 no ponto (1,1).

Answer 1

Olá. 

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Parte 1: Gradiente de f

     Para calcular uma derivada direcional, precisamos do gradiente da função que queremos diferenciar e de um vetor unitário da direção procurada. Vamos calcular o gradiente que é simples e guardaremos o resultado:

$\nabla f(x,y) = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} \right) = (2x+2y, 2x-2y)$

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Parte 2: Cálculo do vetor tangente à curva

Modo 1:  Parametrizamos a curva que é uma circunferência. Veja:

$x^2+y^2=2\Rightarrow \left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{\sqrt2}\right)^2 = 1$

Existe algo que se somarmos ao quadrado dá 1? Veja que o seno e o cosseno de qualquer ângulo satisfazem isso. Por isso, fazemos:

$\begin{cases}\frac{x}{\sqrt2} = \mathrm{cos}~t\\ \frac{y}{\sqrt2} = \mathrm{sen}~t\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x = \sqrt2~ \mathrm{cos}~t\\y = \sqrt2~\mathrm{sen}~t\end{cases}, t\in[0,2\pi ]$

Fizemos a curva $\gamma(t) = (\sqrt2~ \mathrm{cos}~t, \sqrt2~\mathrm{sen}~t)$

A reta tangente em cada ponto é:

$\gamma'(t) =(-\sqrt2~\sin ~t, \sqrt2\cos t )$

Queremos que x = 1 e y = 1. Veja que t = π/4 gera  esses valores na curva. Vamos usá-lo na derivada:

$\gamma'(\frac{\pi}{4}) = (-\sqrt2\sin(\frac{\pi}{4}),\sqrt2\cos(\frac{\pi}{4}) ) = (-1,1)$

O vetor unitário da direção tangente é o produto de (-1,1) pelo inverso de sua norma(que vale √2). Assim:

$\vec{u} = (-\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2})$

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Modo 2: usamos a interpretação geométrica do gradiente - Para uma curva de nível f(x,y) = c, o gradiente de f será normal à curva.

Façamos g(x,y) = x² + y². Para g(x,y) = 2, teremos a curva pedida, e o gradiente de g será perpendicular à curva.

$\nabla g(x,y) = (2x,2y)\overset{(1,1)}\longrightarrow \nabla g(1,1) = (2,2) \sim (1,1)$
Podemos escolher (1,1) por ter a mesma direção de (2,2) e para facilitar contas.

Mas queremos o vetor tangente à curva, não o normal. Para isso, basta fazermos o produto interno por um vetor escolhido de modo que o produto interno se anule. Você pode escolher, nesse caso, (-1,1); (1, -1); (86400, -86400)... Depois basta normalizar o vetor(deixar unitário).

Já vimos ali em cima, vou tomar (-1,1), que normalizado resulta $(-\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt2})$ .

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Parte 3: Cálculo da derivada direcional pelo algoritmo.

Vamos aplicar o algoritmo:

$\dfrac{\partial f}{\partial \vec u}(x,y) = \nabla f(x,y) \cdot \vec u\\ \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial \vec u}(2,1) = (2(2) + 2(1), 2(2)-2(1))\cdot (-\frac{1}{\sqrt2}, \frac{1}{\sqrt2})\\ \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial\vec{u}}(2,1) = (6,2)\cdot (-\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2})\\\\\\\dfrac{\partial f}{\partial \vec u}(2,1) = -\frac{6}{\sqrt2} + \frac{2}{\sqrt2} = -\frac{4}{\sqrt2}\frac{\sqrt2}{\sqrt2}\\ \\ \\ \boxed{\dfrac{\partial f}{\partial \vec u}(2,1) = -2\sqrt2}$


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