Question

Um investidor aplicou R$80.000.00 a juros composto de 2,2% ao mês.


Após quantos anos terá um montante de R$134.868.80?

Answer 1

     •  Capital aplicado:  $\mathsf{C=R\ ~80000,\!00}$

     •  Taxa de juros:  $\mathsf{i=2,\!2\%~ao~m\hat{e}s=0,\!022~ao~m\hat{e}s}$

     •  Período de aplicação:  $\mathsf{n}$

     •  Montante acumulado:  $\mathsf{M=R\ ~134868,\!80}$


No regime de juros compostos, temos

     $\mathsf{M=C\cdot (1+i)^n}$


Vamos isolar n, que é o que desejamos encontrar:

     $\mathsf{(1+i)^n=\dfrac{M}{C}}$


Aplique logaritmo dos dois lados:

     $\mathsf{\ell n\big[(1+i)^n\big]=\ell n\left(\dfrac{M}{C}\right)}\\\\\\ \mathsf{n\cdot \ell n(1+i)=\ell n\left(\dfrac{M}{C}\right)}\\\\\\ \mathsf{n=\dfrac{\ell n\!\left(\frac{M}{C}\right)}{\ell n(1+i)}}$


Substitua os valores conhecidos

     $\large\begin{array}{l} \mathsf{n=\dfrac{\ell n\!\left(\frac{134868,80}{80000,00}\right)}{\ell n(1+0,\!022)}}\\\\ \mathsf{n=\dfrac{\ell n(1,\!68586)}{\ell n(1,\!022)}}\\\\ \mathsf{n=\dfrac{0,\!522276}{0,\!0217615}}\\\\ \mathsf{n=24~meses\quad\longleftarrow\quad resposta.} \end{array}$


Como o problema pede o tempo em anos, concluimos que em 2 anos, o investidor terá um montante de R$ 134868,80.


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Bons estudos! :-)