Question

Duas circunfer^encias s~ao tangentes internamente como na gura. Os segmentos
AB e CD s~ao perpendiculares e o ponto O e o centro da circunfer^encia maior. Os segmentos AP
e CQ medem, respectivamente, 4 m e 3 cm. Qual a medida do raio do crculo menor?

Answer 1

Pela lei das potências dos pontos internos de uma circunferência, o produto das partes de uma corda é igual ao produto da parte da outra corda. Então:
Produto da corda vertical= (R-3). (R-3)= (R-3)^2
Produto da corda horizontal= $x .R= (R-4) . R= R^2-4R$
x= distancia do ponto PO

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$(R-3)^2= R^2-4R$
$(R-3) . (R-3)= R^2-4R$
$R^2-3R-3R+9=R^2-4R$
$R^2-6R+9=R^2-4R$  cortamos os que se repetem dos dois lados da igualdade
$9=-4R+6R$
$9=2R$
$R=9/2$
$R=4,5$

Foi encontrado valor do raio do circulo maior, no entanto a questão pede o do circulo menor.
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$2r= x + R$
$2r= R-4 +R$
$2r= 4,5-4+4,5$
$2r=0,5+4,5$
$2r=5$
$r=5/2$
$r= 2,5$